Решение одного тригонометрического уравнения

В этом материале мы рассмотрим  решение уравнения вида 

cos(2x+P)=b*cos(x+Q)

Такое уравнение имеет 4 различных корня(в одном периоде).

В отличии от других калькуляторов, мы такое уравнение будем рассчитывать не приближенными методами, как это делается в большинстве случаев, а через полином 4 степени. 

В одной из предыдущих статьей,  мы решали полное уравнение четвертой степени по своей методике, и теперь мы можем с полным правом использовать свои наработки.

Как и всегда коэффиценты в данном уравнении могут быть и вещественными и мнимыми, или состоять из математического выражения.

А теперь инструкция, как из исходного уравнения  получить многочлен 4 степени.

cos(2x+P)=b*cos(x+Q)

Представляем косинус как

cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

Тогда

\frac{e^{i2x+pi}+e^{-2ix-pi}}{2}=b\frac{e^{ix+qi}+e^{-xi-qi}}{2}

Преобразуем его

{e^{i2x}*e^{pi}+e^{-2ix}*e^{-pi}}=b({e^{iq}*e^{xi}+e^{-qi}*e^{-xi}})

Если представить e^{ix}=y то получим

y^2*e^{ai}+\frac{e^{-pi}}{y^2}=b(e^{-qi}*\frac{1}{y}+e^{qi}*y})

избавимся от знаменателя

y^4*e^{pi}+{e^{-pi}}=b(e^{-iq}*{y}+e^{qi}*y^3})

И вот оно  уравнение 4 степени. Можем еще чуть преобразовать и получим окончательно

y^4*(cos(p)+isin(p))-y^3b(cos(q)-isin(q))-yb(cos(q)-isin(q))+(cos(p)-isin(p))=0

Никто в здравом уме и не соберется вручную решать это по методу Феррари или любым другим способом. Но у нас есть калькулятор, который спокойно выдаст все 4 решения.

несколько примеров

cos(2x+5)=7*cos(10-x)

Удачных расчетов!

 

 
 
 
 
 
 
 
Поиск по сайту