Решение одного тригонометрического уравнения

В этом материале мы рассмотрим  решение уравнения вида 

cos(2x+a)=b*cos(2a-x)

Такое уравнение имеет 4 различных корня(в одном периоде).

Формально по такому же принципу, мы можем решать любое  уравнение вида

cos(2x+P)=b*cos(x+Q)

В отличии от других калькуляторов, мы такое уравнение будем рассчитывать не приближенными методами, как это делается в большинстве случаев, а через полином 4 степени. 

 

В одной из предыдущих статьей,  мы решали полное уравнение 4 степени по своей методике, и теперь мы можем с полным правом использовать свои наработки.

Как и всегда коэффиценты в данном уравнении могут быть и вещественными и мнимыми, или состоять из математического выражения.

А теперь инструкция, как из исходного уравнения  получить многочлен 4 степени.

cos(2x+a)=b*cos(2a-x)

Сразу заметим, что косинус функция четная, то решать можем и такое уравнение

cos(2x+a)=b*cos(x-2a)

Представляем косинус как

cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

Тогда

\frac{e^{i2x+ai}+e^{-2ix-ai}}{2}=b\frac{e^{i2a-xi}+e^{-2ia+xi}}{2}

Преобразуем его

{e^{i2x}*e^{ai}+e^{-2ix}*e^{-ai}}=b({e^{i2a}*e^{-xi}+e^{-2ia}*e^{xi}})

Если представить e^{ix}=y то получим

y^2*e^{ai}+\frac{e^{-ai}}{y^2}=b(e^{i2a}*\frac{1}{y}+e^{-2ia}*y})

избавимся от знаменателя

y^2*e^{ai}+\frac{e^{-ai}}{y^2}=b(e^{i2a}*\frac{1}{y}+e^{-2ia}*y})

И вот оно  уравнение 4 степени. Можем еще чуть преобразовать и получим окончательно

y^4*{cos(a)+isin(a)}-y^3b{cos(2a)-isin(2a)}-yb{cos(2a)+isin(2a)}+{cos(a)+isin(a)}=0

Никто в здравом уме и не соберется вручную решать это по методу Феррари или любым другим способом. Но у нас есть калькулятор, который спокойно выдаст все 4 решения.

несколько примеров

cos(2x+5)=7*cos(10-x)

Удачных расчетов!

 

 
 
 
 
 
 
 

 

Обращение к пользователям