Тригонометрическое уравнение как многочлен

В этом материале мы рассмотрим решение уравнения вида

$cos(2x+P)=b*cos(x+Q)$

Такое уравнение имеет 4 различных корня(в одном периоде).

В отличии от других калькуляторов, мы такое уравнение будем рассчитывать не приближенными методами, как это делается в большинстве случаев, а через полином 4 степени.

В одной из предыдущих статьей, мы решали полное уравнение четвертой степени по своей методике, и теперь мы можем с полным правом использовать свои наработки.

Как и всегда коэффиценты в данном уравнении могут быть и вещественными и мнимыми, или состоять из математического выражения.

А теперь инструкция, как из исходного уравнения получить многочлен 4 степени.

$cos(2x+P)=b*cos(x+Q)$

Представляем косинус как

$cos(x)=\cfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

Тогда

$\cfrac{e^{i2x+pi}+e^{-2ix-pi}}{2}=b\cfrac{e^{ix+qi}+e^{-xi-qi}}{2}$

Преобразуем его

${e^{i2x}*e^{pi}+e^{-2ix}*e^{-pi}}=b({e^{iq}*e^{xi}+e^{-qi}*e^{-xi}})$

Если представить $e^{ix}=y$ то получим

$y^2*e^{pi}+\cfrac{e^{-pi}}{y^2}=b(e^{-qi}*\cfrac{1}{y}+e^{qi}*y)$

избавимся от знаменателя

$y^4*e^{pi}+{e^{-pi}}=b(e^{-iq}*{y}+e^{qi}*y^3)$

И вот оно уравнение 4 степени. Можем еще чуть преобразовать и получим окончательно

$y^4+{e^{-2pi}}=b(e^{-iq-pi}*{y}+e^{qi-pi}*y^3)$

$y^4-be^{qi-pi}*y^3-be^{-iq-pi}*{y}+{e^{-2pi}}=0$

Никто в здравом уме и не соберется вручную решать это по методу Феррари или любым другим способом. Но у нас есть калькулятор, который спокойно выдаст все 4 решения.

несколько примеров

$cos(2x+5)=11*cos(x+1)$

$y^4-11e^{-4i}*y^3-11e^{-6i}*{y}+{e^{-10i}}=0$

Ввводим коэффициенты 1 -11*e^(-4i) 0 -11*e^(-6i) e^(-10i)

Найти корни уравнения, многочлена 4 степени онлайн

Исходный многочлен

$Корни многочлена$