Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами

Радиус окружности
Координаты X Y пересечения двух перпендикуляров, через пробел
Площадь фигуры

Представим себе задачу, есть круг радиусом и есть две перпендикулярные прямые, точка пересечения  которых находится внутри круга.

Они делят круг на четыре части. Вопрос: чему равны их площади ?

Упростим вопрос и попробуем узнать чему равна площадь  закрашенной фигуры?

 При должной смекалке и недолгих раздумий, данную задачу можно решить любому, кто знает как вычислять сегмент и площадь круга.

"Покрутим" изображение таким образом, что бы перпендикулярные линии были параллельны осям ординат и абсцисс. Площадь, которую мы хотим найти, от этого поворота никак не изменилась.

Именно это мы и будем считать исходными данными.

 

 Начнем считать?

\(A\) - это у нас первый круговой сегмент, площадь которого мы можем найти.

\(B\) - это второй круговой сегмент, который тоже легко высчитывается

\(S\) - этот "кусочек" входит  и в сегмент \(A\) и в сегмент \(B\), поэтому закрашен коричнево-зеленой краской. 

Площадь  розового прямоугольника \(C\) высчитывается как произведение \(x_0*y_0\)

Область, закрашенная серым,  в левой части круга, высчитывается как разница площади четверти круга и половине сегмента \(A\)

А область, отмеченная красными мазками, высчитывается как разница площади четверти круга и половине сегмента \(B\)

И осталась  белая, незакрашенная область, равная четверти площади круга.

Просуммируем?

\(A+B-S+C+\cfrac{R^2\pi}{4}-\cfrac{A}{2}+\cfrac{R^2\pi}{4}-\cfrac{B}{2}+\cfrac{R^2\pi}{4}=R^2\pi\)

Сгруппируем, перенесем и получим

\(S=C+\cfrac{A}{2}+\cfrac{B}{2}-\cfrac{R^2\pi}{4}\)

Теперь вспоминаем формулы  площади кругового сегмента и прямоугольника.

\(С=x_0*y_0\)

\(A=\cfrac{R^2}{2}(2acos(\cfrac{y_0}{R})-sin(2acos(\cfrac{y_0}{R})))\)

\(B=\cfrac{R^2}{2}(2acos(\cfrac{x_0}{R})-sin(2acos(\cfrac{x_0}{R})))\)

В принципе на этом можно и остановится, но мы углубимся в своих изысканиях

Подставим все в конечную формулу и получим  вот такого "монстрика"

\(x_0*y_0+\cfrac{R^2}{2}acos(\cfrac{1}{R^2}(x_0*y_0-\sqrt{(R^2-x_0^2)(R^2-y_0^2)}))-\cfrac{x_0}{2}\sqrt{R^2-x_0^2}-\cfrac{y_0}{2}\sqrt{R^2-y_0^2}=S\)

Удачных расчетов!

Поиск по сайту