Исходная матрица |
![Исходные данные]() |
Характеристическая матрица |
![матрица с неизвестным]() |
Характеристический полином |
![Характеристический многочлен]() |
Его корни |
![Корни характеристического многочлена]() |
По заданным элементам матрицы вычисляется его характеристическое уравнение, и находятся его корни. Ограничение сверху - матрица не больше 4 на 4, так как только для уравнения 4 степени, создан калькулятор.
Чем хорош данный калькулятор? Тем что работает в поле комплексных чисел, то есть исходные данные могут быть и вещественными и мнимыми.
Кроме этого, кроме значений можно писать любое математическое уравнение, которое корректно вычислется универсальным калькулятором комплексных чисел, что очень упрощает работу
Для чего нужны характеристические уравнения?
- Приведение поверхности или кривой 2 порядка в канонический вид
- Исследование дифференциальных уравнений на устойчивость
- Определение Жордановой формы матрицы
- Анализ матрицы квадратичной формы
и многое другое.
Рассмотрим несколько примеров:
Найти общее характеристическое уравнение и его корни, если дана матрица
![3 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & -1 \\1 & -1& 3](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & -1 \\1 & -1& 3 \end{pmatrix})
Введя данные слева направо, сверху снизу мы получим следующий результат
Исходная матрица |
![Исходные данные](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\begin{pmatrix}3%20&%20-1%20&%201%20\\%20-1%20&%205%20&%20-1%20\\%201%20&%20-1%20&%203%20\\%20\end{pmatrix}) |
Характеристическая матрица |
![матрица с неизвестным](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\begin{pmatrix}3-x%20&%20-1%20&%201%20\\%20-1%20&%205-x%20&%20-1%20\\%201%20&%20-1%20&%203-x%20\\%20\end{pmatrix}) |
Характеристический полином |
![Характеристический многочлен](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=(-1)*x^3%20+%20(11)*x^2%20+%20(-36)*x^1%20+%20(36)) |
Его корни |
![Корни характеристического многочлена](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?6\\2.0000000000003\\2.9999999999997\\) |
Корни полинома 2, 3 и 6. Идет небольшая погрешность, в 15 знаке, но я считаю что это некритично.
Еще один пример
![begin{pmatrix}%201%20&%208%20&%20-11%20\\%20-4%20&%209%20&%204%20\\7%20&%200&5%20\end{pmatrix}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? \begin{pmatrix} 1 & 8 & -11 &cos(pi/3)\\ -4 & 9 & 4 & -i \\pi & 0 &5 & -3 \\-5 & e^i &5 & 9 \end{pmatrix})
И ответ
Исходная матрица |
![Исходные данные](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\begin{pmatrix}1%20&%208%20&%20-11%20&%20cos(pi/3)%20\\%20-4%20&%209%20&%204%20&%20-i%20\\%20pi%20&%200%20&%205%20&%20-3%20\\%20-5%20&%20e^i%20&%205%20&%209%20\\%20\end{pmatrix}) |
Характеристическая матрица |
![матрица с неизвестным](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\begin{pmatrix}1-x%20&%208%20&%20-11%20&%20cos(pi/3)%20\\%20-4%20&%209-x%20&%204%20&%20-i%20\\%20pi%20&%200%20&%205-x%20&%20-3%20\\%20-5%20&%20e^i%20&%205%20&%209-x%20\\%20\end{pmatrix}) |
Характеристический полином |
![Характеристический многочлен](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=(0.99999999994628-5.2313888888889E-11i)*x^4%20+%20(-24.000000000045+4.5788194444444E-10i)*x^3%20+%20(277.21604820494+0.54030230472948i)*x^2%20+%20(-1761.8072337735-31.461220047164i)*x^1%20+%20(4404.8755027959+434.31141517684i)) |
Его корни |
![Корни характеристического многочлена](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?2.1417347350828-10.195915170835i\\4.2165645539487+2.2797232008081i\\10.796679915329+7.4029672381498i\\6.8450207969722+0.5132247326706i\\) |
Удачных расчетов!