Значение производной многочлена по методу Горнера

Элементы многочлена

Переменная X при которой находим значения производной

Заданная функция

Рассмотрим одну из простых и незаслужено забытых на просторах интернета методики определения производной полинома, произвольной (положительной) степени.

 

До последнего был уверен, что если известен многочлен вида

и необходимо узнать значение производной например 5 порядка  в какой либо точке, необходимо сначала вычислить эту производную (пятого порядка), а потом уже подставив значение, рассчитать производную.

Оказывается есть более простой и алгоритмически легкий способ, нахождения производной в точке.

Для этого нам понадобится методика описанная в материалах: Разложить многочлен по степеням и Метод Горнера. Деление многочлена.

Да, да, оказывается метод Горнера с успехом решает поставленную задачу.

Рассмотрим пример:

Вычислить производную третьего порядка при х=3  следующего многочлена

1. Разделим заданный многочлен на 

Получим  и остаток 19. 

Число 19 есть значение функции   если мы подставим туда x=3

2. Разделим  снова на 

Получим  и остаток 25. 

Так как это первая проивзодная, то умножим полученный результат на 1!(один факториал)=1. Получили то же число 25

Число 25 это значение первой производной от заданной функции при x=3. То есть если мы вычислим первую производную

 и подставим туда значение 3 получим тот же ответ = 25.

3. Разделим  снова на 

получим   и остаток 13. 

Умножим это число на 2! (два факториал) =2 и мы получим значение производной функции второго порядка при х=3

Это число =26

4. Производная третьего порядка вычисляется в данном случае просто, так как   далее уже делить невозможно, то это и является остатком. Его необходимо умножить на 3!(три факториал)=6

И получим, что производная третьего порядка при заданном многочлене при x=3 равна 12.

Таким незамысловатым способом мы можем находить значения любой производной любого полинома.

Алгоритм  прост, но при многочленах со степенями  выше 10, мы сталкиваемся  с необходимостью вычислять факториалы выше 10, что очень трудоемко, так как факториал от 10 равен 3628800, а факториал от 16 уже 20922789888000

Но нам на пользу приходит одно из свойств методики Горнера, которое гласит: Если мы умножим какую либо функцию на число  то и остаток отделения  возрастет во столько же раз.

Поэтому нам достаточно умножать полученные коэффиценты  полинома  от деления на числа 1,2,3,4,5 и т.д. в зависимости от того какую производную мы вычислем в данный момент и вычислить остаток.

Калькулятор работает и в поле комплексных чисел, поэтому решим вот такой пример.

Есть функция 

Необходимо узнать все возможные производные этой функции при x=i

Несложно убедится что решая это вручную, можно допустить оплошность и пойти по неверному пути.

Намного проще воспользоватся ботом и через XMPP клиент написать

propol 2 1-5i 0 -7 i 2 -9 -1;i

и мы получим все результаты

• << Египетские дроби. Часть вторая
• Из показательной в алгебраическую. Подробно >>