Во всех материалах которые встречаются в ТОП-10, решение кубического уравнения сводится к формулам Кардано. Эти формулы правильные и наверное по своему красивы, но нет них в той элегантности как хотелось бы.
Это касается и тригонометрических формул Виета, хотя конечно выводятся / доказываются они просто, но...
Предлагается, немного другой взгляд на решение кубического уравнения вида ![x^3+px+q=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x^3+px+q=0)
![\phi=atan(\frac{1}{q}\sqrt{Discriminant})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\phi=atan(\frac{1}{q}\sqrt{Discriminant}))
![\phi=atan(\frac{1}{q}\sqrt{Discriminant})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x_j=\sqrt{-p}\frac{cos(\frac{\phi+2j\pi}{3})}{cos(\frac{\pi}{6})},j=0,1,2)
Где дискриминант - является результатом деления стандартного (классического дискриминанта) на число 27.
![Discriminant=-q^2-4\frac{p^3}{27}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?Discriminant=-4((\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3))
Формула настолько элегантна и проста, что хочется взять и распространить её на уравнения 4, 5 и более степеней. Но увы, с наскока получить примлемое решение не удалось, хотя наверяка решение где то рядом.
Заметим что это формула прекрасно работает и в поле комплексных чисел.
Давайте вообще избавимся от дискриминанта.
Тогда
![\phi=atan(\sqrt{\frac{Discriminant}{q^2}})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\phi=atan(\sqrt{\frac{Discriminant}{q^2}}))
![\phi=atan(\sqrt{\frac{q^2+\frac{4p^3}{27}}{-q^2}})=atan(\sqrt{{-1-\frac{4p^3}{27q^2}}})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\phi=atan(\sqrt{\frac{q^2+\frac{4p^3}{27}}{-q^2}})=atan(\sqrt{{-1-\frac{4p^3}{27q^2}}}))
![\phi=atan(\sqrt{\frac{Discriminant}{q^2}})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\phi=atan(i\sqrt{1+(\frac{2}{q})^2(\frac{p}{3})^3)}=atan(i\sqrt{1+\frac{(\frac{p}{3})^3}{(\frac{q}{2})^2}))
где i - это мнимая единица.
Можно еще преобразовать формулу и получим вот такой вид
![x_i=2i\sqrt{\frac{p}{3}}cos(\frac{\phi+2i\pi}{3})}, i=0,1,2](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x_i=2i\sqrt{\frac{p}{3}}cos(\frac{\phi+2j\pi}{3})}, j=0,1,2)
Если мы попробуем преобразовать арктангенс через арккосинус, то получим всем известную формулу Виета.
![\phi=atan(i\sqrt{\frac{(\frac{q}{2})^2}{(\frac{-p}{3})^3})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\phi=acos(\sqrt{\frac{(\frac{q}{2})^2}{(\frac{-p}{3})^3}))
![x_i=2i\sqrt{\frac{p}{3}}cos(\frac{\phi+2i\pi}{3})}, i=0,1,2](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x_i=2i\sqrt{\frac{p}{3}}cos(\frac{\phi+2j\pi}{3})}, j=0,1,2)
В принципе откуда вышли, туда и пришли, но речь в принципе не только об этом.
Все таки не хватает элегантности...
Я пытаюсь поставить себя на место преподаватели, потом ученика и никак не могу объяснить с одной стороны, а с другой стороны понять, зачем при решении кубического уравнения мы изучаем формулы Кардано.
На мой взгляд, это все равно что изучать латынь в настоящее время, потому что раньше было так принято.
Решение неполного кубического уравнения сводится через коэффициенты полинома Чебышева в еще более простую формулу.
Если обозначить
n-ый полином Чебышева, то решение кубического уравнения сводится с формуле
![x_i=2i\sqrt{\frac{p}{3}}cos(\frac{\phi+2i\pi}{3})}, i=0,1,2](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x=2\sqrt{\frac{-p}{3}}T_{\frac{1}{3}}(\sqrt{\frac{(\frac{q}{2})^2}{(\frac{-p}{3})^3}))
В отличие от формул/расчетов 13 века, эта формула компактнее, красивее, удобнее.
Жаль только что полиномы 4 и выше степеней не решаются так же просто как и кубический многочлен.