Неполная гамма функция

Два значения s и x (x!=0), функции Gamma(s,x)

Значение неполной гамма функции

Неполная гамма функция широко используется в статитических и вероятностных расчетах. На этой странице Вы сможете онлайн рассчитать значение неполной функции как в вещественном так и комплексном поле чисел.

Неполная гамма функция имеет две разновидности - верхнюю неполную гамму функция

$\Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t ,\,\!$

и нижнюю

$\ gamma (s, x) = \ int_0 ^ xt ^ {s-1} \, e ^ {- t} \, {\ rm d} t. \, \!$

Интересна связь неполной гамма функцией с полной гаммой функцией.

$e^{-\pi ia}\Gamma\left(a,ze^{\pi i}\right)-e^{\pi ia}\Gamma\left(a,ze^{-\pi i}% \right)=-\frac{2\pi i}{\Gamma\left(1-a\right)}$

Вычисление функции может осуществлятся несколькими способами: в ввиде бесконечных рядов

$\ Gamma (s, x) = (s-1)! \, E ^ {- x} \ sum_ {k = 0} ^ {s-1} \ frac {x ^ k} {k!}$

В виде приближения каким либо полиномов или в виде представления непрерывной цепной дроби.

Последний вариант и реализован в данном калькуляторе

$\ Gamma (s, z) = \ cfrac {z ^ se ^ {- z}} {1 + z-s + \ cfrac {s-1} {3 + z-s + \ cfrac {2 (s-2)} { 5 + z-s + \ cfrac {3 (s-3)} {7 + z-s + \ cfrac {4 (s-4)} {9 + z-s + \ ddots}}}}}$

Способность высчитывать значение неполной гамма функции позволит нам на следующем шаге высчитывать так называемую функцию ошибок, зная связь между ними.

${\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}}, x \ right) = {\ sqrt {\ pi}} \ operatorname {erfc} \ left ({\ sqrt {x}} \ right) }$

Несколько примеров, использования этого калькулятора

Обратите внимание что вычисление идут с небольшой 1-1.5 секунды, это связано с тем что автор скрипта, хочет получить более точные знаки после запятой в результате вычислений.

$результат$

Удачных расчетов!!

Поиск по сайту