Определение значения неполной гамма функции

Два значения s и x (x!=0), функции Gamma(s,x)

Значение неполной гамма функции

Неполная гамма функция широко используется в статистических и вероятностных расчетах. На этой странице Вы сможете онлайн рассчитать значение неполной функции как в вещественном так и комплексном поле чисел.

Неполная гамма функция имеет две разновидности - верхнюю неполную гамму функция

$\Gamma(s,x)=\int_x^{\infty}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm{d}}t%20,\,\!$

и нижнюю

$\gamma(s,x)=\int_0^xt^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm{d}}t$

Интересна связь неполной гамма функцией с полной гаммой функцией.

$e^{-\pi{ia}}\Gamma\left(a,ze^{\pi{i}}\right)-e^{\pi{ia}}\Gamma\left(a,ze^{-\pi{i}}\right)=-\cfrac{2\pi{i}}{\Gamma\left(1-a\right)}$

Вычисление функции может осуществляется несколькими способами: в виде бесконечных рядов

$\Gamma(s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum_{k=0}^{s-1}\cfrac{x^k}{k!}$

В виде приближения каким либо полиномов или в виде представления непрерывной цепной дроби.

Последний вариант и реализован в данном калькуляторе

$\Gamma(s,z)=\cfrac{z^se^{-z}}{1+z-s+\cfrac{s-1}{3+z-s+\cfrac{2(s-2)}{5+z-s+\cfrac{3(s-3)}{7+z-s+\cfrac{4(s-4)}{9+z-s+\ddots}}}}}$

Способность высчитывать значение неполной гамма функции позволит нам на следующем шаге высчитывать так называемую функцию ошибок, зная связь между ними.

${\displaystyle\Gamma\left({\tfrac{1}{2}},x\right)={\sqrt{\pi}}\operatorname{erfc}\left({\sqrt{x}}\right)}$

Несколько примеров, использования этого калькулятора

$результат$