Когда мы научились рассчитывать эллиптические интегралы первого и второго рода мы столкнулись с недопониманием, а где эти функции можно использовать в практическом смысле?
Что бы исправить эту ошибку начнем с темы представления некоторых интегралов, решение которых, можно представить через эллиптические функции. В открытом доступе их нет, только в бумажном виде, поэтому наверное кому то эта информация пригодится.
![\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}))
где
, ![x=b*tan(\varphi) x=b*tan(\varphi)](/images/joomlatex/60bb9e4c8e6822379e8f65e769491a4a.gif)
![\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\int_{0}^{\infty} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}))
где
, ![x=a*cotan(\varphi) x=a*cotan(\varphi)](/images/joomlatex/123dce91c20de89d1641faed97fe95ed.gif)
![\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}F(\varphi,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}))
где ![x=\frac{a*b*sin(\varphi)}\sqrt{a^2cos^2(\varphi)+b^2}}} x=\frac{a*b*sin(\varphi)}\sqrt{a^2cos^2(\varphi)+b^2}}}](/images/joomlatex/ca70e993b31a67167b3aad933d5ed4fb.gif)
![\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\int_{x}^{a} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}F(\varphi,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}))
где ![x=a*cos(\varphi) x=a*cos(\varphi)](/images/joomlatex/a76e53a869bce7a27ab192207757d5d2.gif)
![\int_{b}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(x^2+a^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}F(\varphi,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\int_{b}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(x^2+a^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}F(\varphi,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}))
где ![x=b*sec(\varphi) x=b*sec(\varphi)](/images/joomlatex/2e393aa80ee143dae0cfca12891a745b.gif)
![\int_{b}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(x^2+a^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}F(\varphi,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\int_{x}^{\infty} \frac{ dx }{\sqrt{(x^2+a^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}F(\varphi,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}))
где ![x=\sqrt{b^2+(a^2+b^2)cotan^2(\varphi)} x=\sqrt{b^2+(a^2+b^2)cotan^2(\varphi)}](/images/joomlatex/721dda000fc4e0e34e88af73c6a5f00d.gif)
![\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(b^2-x^2)}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}F(\varphi,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(b^2-x^2)}}=\frac{1}{b}F(\varphi,\frac{a}{b}))
где
![b>a b>a](/images/joomlatex/ff60a9a90b197dd5b9ed0fd6d45a3118.gif)
![\int_{x}^{a} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(b^2-x^2)}}=\frac{1}{b}F(\varphi,\frac{a}{b})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\int_{x}^{a} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(b^2-x^2)}}=\frac{1}{b}F(\varphi,\frac{a}{b}))
![b>a b>a](/images/joomlatex/ff60a9a90b197dd5b9ed0fd6d45a3118.gif)
![\int_{b}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\int_{b}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}))
![b>a b>a](/images/joomlatex/ff60a9a90b197dd5b9ed0fd6d45a3118.gif)
![\int_{x}^{a} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\int_{x}^{a} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}))
где ![x=\sqrt{b^2sin^2(\varphi)+a^2cos^2(\varphi)} x=\sqrt{b^2sin^2(\varphi)+a^2cos^2(\varphi)}](/images/joomlatex/b01ea05a0fff0244703312ab0c185f41.gif)