Полный эллиптический интеграл 1 рода |
![Полный эллиптический интеграл 1 рода]() |
Полный эллиптический интеграл 2 рода |
![Полный эллиптический интеграл 2 рода]() |
Эллиптические интегралы впервые появились при задаче определения периметра произвольного эллипса.
В общем случае эллиптическим называется интеграл
![\int R(x,y) dx](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\int R(x,y) dx )
где - рациональная функция от
и
, а
- многочлен третьей или четвертой степени от ![x x](/images/joomlatex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
Известны преобразования, позволяющие выразить любой эллиптический интеграл через интеграл от рациональной функции
и следующие три канонических интеграла.
Эллиптический интеграл первого рода
![F(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{ dx }{sqrt{1-k^2sin^2(t)}}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?F(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{ dx }{sqrt{1-k^2sin^2(t)}})
Эллиптический интеграл второго рода
![E(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \sqrt{1-k^2sin^2(t)}dt](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?E(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \sqrt{1-k^2sin^2(t)}dt)
Эллиптический интеграл третьего рода
![\Pi(c; \varphi, k) = \int \limits_{0}^{\varphi}\!\frac{d\varphi}{(1+c \sin^2 \varphi) \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi? \Pi(n, \varphi, k) = \int \limits_{0}^{\varphi}\!\frac{d\varphi}{(1+n \sin^2 \varphi) \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}})
Здесь
- амплитуда
- модуль
- параметр эллиптического интеграла(третьего рода)
Интегралы, у которых амплитуда
называются полными. Для интегралов первого и второго рода применяются соответственно обозначения.
![K(k)=F(\frac{\pi}{2},k)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?K(k)=F(\frac{\pi}{2},k))
![E(k)=E(\frac{\pi}{2},k)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?E(k)=E(\frac{\pi}{2},k))
Используется также дополнительный модуль, равный по определению
![k_1=\sqrt{1-k^2}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?k_1=\sqrt{1-k^2})
В таблицах эллиптических интегралов принято амплитуду выражать в градусах. Кроме того, часто величины
рассматриваются как функции модулярного угла - угла, заменяющего модуль и выраженного в градусах:
![\alpha=\frac{180}{\pi}asin(k)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\alpha=\frac{180}{\pi}asin(k))
Таким образом
![k=sin(\alpha)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?k=sin(\alpha))
![k=sin(\alpha)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?k=cos(\alpha))
При вычислении
одним из наиболее эффективных является итерационный метод арифметическо-геометрического среднего (АГС). Начиная с пары
находятся следующие среднее арифметическое и среднее геометрическое, которые образуют две сближающиеся последовательности:
![a_1=\frac{a_0+b_0}{2}, b_1=\sqrt{a_0b_0}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?a_1=\frac{a_0+b_0}{2}, b_1=\sqrt{a_0b_0})
![a_2=\frac{a_1+b_1}{2}, b_2=\sqrt{a_1b_1}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?a_2=\frac{a_1+b_1}{2}, b_2=\sqrt{a_1b_1})
![a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}})
Процесс заканчивается при таком
для которого
и
совпадают. Искомое значение
определяется по формуле
![K(k)=\frac{\pi}{2a_n}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?K(k)=\frac{\pi}{2a_n})
Есть еще более простая формула, при
стремящегося к единице.
![K(k)=ln(\frac{4}{k_1})](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?K(k)=ln(\frac{4}{k_1}))
Вычисление полного эллиптического интеграла второго рода производится по той же схеме что и в случае интеграла первого рода , с использованием разностей
получаемой на каждой итерации. Тогда
![E(k)=(1-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N2^nc_n^2)K(k)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?E(k)=(1-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N2^nc_n^2)K(k))
где
Бот, рассчитывает значения полного эллиптического интеграла первого и второго рода, при любых значениях
С помощью этого бота мы сможем легко определять периметр эллипса, а также длину дуги любой кривой второго порядка.
Некоторые примеры
При значении x=i
Полный эллиптический интеграл 1 рода |
![Полный эллиптический интеграл 1 рода](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?K(\frac{\pi}{2},i)%20=%201.3110287771461) |
Полный эллиптический интеграл 2 рода |
![Полный эллиптический интеграл 2 рода](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?E(\frac{\pi}{2},i)%20=%201.910098894514) |
Хотелось бы заметить, что если проверять по данным который дает сайт www.wolframalpha.com получается что у него другие значения. Это связано с тем, что на том сайте, аргумент предварительно возводится в квадрат, то есть там значения показаны для значения
Полный эллиптический интеграл 1 рода |
![Полный эллиптический интеграл 1 рода](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?K(\frac{\pi}{2},0.5)%20=%201.6857503548126) |
Полный эллиптический интеграл 2 рода |
![Полный эллиптический интеграл 2 рода](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?E(\frac{\pi}{2},0.5)%20=%201.4674622093395) |
и еще один
Полный эллиптический интеграл 1 рода |
![Полный эллиптический интеграл 1 рода](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?K(\frac{\pi}{2},-8)%20=%200.19712334640198-0.43443093218712i) |
Полный эллиптический интеграл 2 рода |
![Полный эллиптический интеграл 2 рода](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?E(\frac{\pi}{2},-8)%20=%200.098367068970897+7.7518095000745i) |
Если Вы где то обнаружили ошибку в расчетах, убедительная просьба сообщить об этом. Спасибо!!!
Удачных расчетов!