Каноническое уравнение эллипса |
![Введенное выражение]() |
Большая полуось эллипса |
|
Малая полуось эллипса |
|
Эксцентриситет эллипса |
|
Фокусное/фокальное расстояние |
|
Коэффициент сжатия |
|
Координаты первого фокуса F1(x1:y1) |
|
Координаты второго фокуса F2(x2:y2) |
|
Фокальный параметр |
|
Перифокусное расстояние |
|
Апофокусное расстояние |
|
Уравнение эллипса в каноническом виде имеет вот такой вид.
![?\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)
Так как тут всего две переменных, то логично предположить, что по двум заданным точкам мы всегда сможем построить формулу эллипса.
![](/images/111/ell.PNG)
Для расчета поставленной задачи воспользуемся материалом расчет кривой второго порядка на плоскости, который и позволит легко и быстро получить результат.
Кроме этого, на этой странице мы получим следующую информацию.
Фокальный параметр - половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса
![p=c\frac{1-e^2}{e}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?p=c\frac{1-e^2}{e})
Значение полуосей - большая полуось
и малая полуось
( Естественно это в том случае, когда эллипс вытянут вдоль оси абсцисс)
![a=\frac{b}{\sqrt{1-e^2}}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?a=\frac{b}{\sqrt{1-e^2}})
Эксцентриситет - коэффициент, показывающий насколько его фигура отличается от окружности
![e=\frac{c}{a}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?e=\frac{c}{a})
Фокальное расстояние
![c=ae](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?c=ae)
Коэффициент сжатия - отношение длин малой и большой полуосей
Перифокусное расстояние
![Ra=c\frac{1+e}{e}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?Ra=c\frac{1+e}{e})
Апофокусное расстояние
![Rb=c\frac{1-e}{e}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?Rb=c\frac{1-e}{e})
Примеры задач
Cоставить каноническое уравнение эллипса по двум точкам ![Ra=c\frac{1+e}{e}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?M_1(3:2);M_2(3\sqrt{1.5}:\sqrt{2}))
Ввводим данные в калькулятор, не забывая что квадратный корень у нас обозначается sqrt
и получаем результат
Каноническое уравнение эллипса |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1) |
Большая полуось эллипса |
8.48528137423857
|
Малая полуось эллипса |
5.656854249492381
|
Эксцентриситет эллипса |
0.8958064164776166
|
Фокусное/фокальное расстояние |
32.2490309931942
|
Коэффициент сжатия |
0.4444444444444444
|
Координаты первого фокуса F1(x1:y1) |
-16.1245154965971 : 0
|
Координаты второго фокуса F2(x2:y2) |
16.1245154965971 : 0
|
Фокальный параметр |
3.5555555555555554
|
Перифокусное расстояние |
1.875484503402901
|
Апофокусное расстояние |
34.1245154965971
|
И еще один пример
Даны две точки с координатами (3:2) и (4:-9) построить каноническое уравнение эллипса.
Если мы введем данные в калькулятор получим
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\frac{x^2}{8.636363636}+\frac{y^2}{-94.99999990100001}=1) |
Большая полуось эллипса |
5.877538136328849
|
Малая полуось эллипса |
NaN
|
Как видно, одна из осей не может быть определена, так как нам придется брать корень квадратный из отрицательного числа, а следовательно одна из осей будет комплексным числом, что быть не может.
Таким образом по этим двум точкам, нельзя построить эллипс.
А что же можно построить? Перейдя по ссылке данной в начале статьи, мы можем увидеть что это каноническое уравнение гиперболы.
![frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)
Более подробно, про гиперболу есть отдельный калькулятор Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам
Удачных расчетов!