Коэффициенты полинома Чебышева

Коэффициенты полинома Чебышева

Порядок полинома Чебышева первого рода (не больше 100)

Полученный полином Чебышева

Введенное выражение

Если кто хочет получить решение как разложить произвольный полином в полином Чебышева, то Вам сюда:

Разложение многочлена по Чебышеву

Свойства полинома Чебышева

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)$

$T_0(x)=1$

$T_1(x)=x$

$T_{\frac{1}{n}}(T_n(x))=x$

$T_{n}(z)=\cos(n\arccos(z))$

Дифференциальное уравнение для многочлена Чебышева

$(1-x^2)T_n'(x)-xT_n'(x)+n^2T_n(x)=0$

Дискриминант многочлена Чебышева

Дискриминант такого многочлена имеет следующий вид

$Discriminant(T_{n}(z))=n^n2^{(n-1)}^2$

То есть для многочлена 5 порядка $Многочлен Чебышева пятого порядка$ дискриминант равен

204 800 000

Если мы берем приведенный многочлен Чебышева, то есть приводим его к виду где коэффициент при старшой степени равен единице, то дискриминант находится как

$Discriminant(Tn_{n}(z))=\frac{n^n}{2^{(n-1)}^{2}}$

Для полинома $ÐÐ²ÐµÐ´ÐµÐ½Ð½Ð¾Ðµ Ð²ÑÑÐ°Ð¶ÐµÐ½Ð¸Ðµ$ если каждый коэффициент разделим на 128, то дискриминант такого нормированного многочлена будет равен

$Discriminant(Tn_{n}(z))=\frac{8^8}{2^{49}}}=\frac{1}{33554432}$

Интеграл многочлена Чебышева

$\int{T_{n}(z)}=\frac{1}{2}[\frac{T_{n+1}(z)}{n+1}-\frac{T_{n-1}(z)}{n-1}]$

Коэффициент полинома первого рода

Что бы определить произвольный коэффициент многочлена Чебышева можно пойти двумя путями:

1. Используя реккуретную формулу, определять последовательно все коэффиценты.

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)$

2. Используя уже выведенную формулу для расчета

$T_n(x)=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}a_kx^{(n-2k)}$

$a_k=(-1)^k\frac{n}{n-k}C^k_{n-k}2^{n-2k-1}$

Примеры:

Рассчитаем коэффициенты многочлена Чебышева $T_5(x)$

$Введенное выражение$

Рассчитаем коэффициенты многочлена Чебышева $T_{13}(x)$

$Введенное выражение$

Удачных расчетов!!

Политика конфиденциальности

О сайте