Коэффициенты полинома Чебышева. Свойства

Порядок полинома Чебышева первого рода (не больше 100)
Полученный полином Чебышева
Введенное выражение

Калькулятор позволяет рассчитать коэффициенты полинома Чебышева.

Если же кто то  хочет  получить разложение произвольного полинома в многочлен Чебышева, то Вам сюда:

Разложение многочлена по Чебышеву онлайн

Свойства полинома Чебышева

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)

T_0(x)=1

T_1(x)=x

 

T_{\frac{1}{n}}(T_n(x))=x

T_{n}(z)=\cos(n\arccos(z))

Дифференциальное уравнение для многочлена Чебышева

(1-x^2)T_n'(x)-xT_n'(x)+n^2T_n(x)=0

Дискриминант многочлена Чебышева

Дискриминант такого многочлена  имеет следующий вид

Discriminant(T_{n}(z))=n^n2^{(n-1)}^2

То есть для многочлена 5 порядка Многочлен Чебышева пятого порядка дискриминант равен

204 800 000

Если мы берем приведенный многочлен Чебышева, то есть приводим его к виду где коэффициент при старшой степени равен единице, то дискриминант находится как

Discriminant(Tn_{n}(z))=\frac{n^n}{2^{(n-1)}^{2}}

Для  полинома Ð’веденное выражение  если каждый коэффициент разделим на 128, то дискриминант такого нормированного многочлена будет равен

Discriminant(Tn_{n}(z))=\frac{8^8}{2^{49}}}=\frac{1}{33554432}

Интеграл многочлена Чебышева

\int{T_{n}(z)}=\frac{1}{2}[\frac{T_{n+1}(z)}{n+1}-\frac{T_{n-1}(z)}{n-1}]

Коэффициент полинома первого рода

Что бы определить произвольный коэффициент многочлена Чебышева можно пойти двумя путями:

1. Используя реккуретную формулу, определять последовательно все коэффиценты. 

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)

2. Используя уже выведенную формулу для расчета 

T_n(x)=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}a_kx^{(n-2k)}

 

a_k=(-1)^k\frac{n}{n-k}C^k_{n-k}2^{n-2k-1}

 

Примеры:

Рассчитаем коэффициенты многочлена Чебышева T_5(x)

Введенное выражение

Рассчитаем коэффициенты многочлена Чебышева T_{13}(x)

Введенное выражение

 

Удачных расчетов!!

Поиск по сайту