Исходное кубическое уравнение |
![Вид уравнения]() |
Первый корень |
![Первый корень]() |
Второй корень |
![Второй корень]() |
Третий корень |
![Третий корень]() |
Мы добрались до возможности решать кубические уравнения общего вида, имеющего комплексные коэффиценты.
Использовать будем методику которая называется подстановкой Виета.
Итак, когда мы из общего уравнения третьей степени ![x^3+ax^2+bx+c=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x^3+ax^2+bx+c=0)
подстановкой ![x = y-\frac{a}{3}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x = y-\frac{a}{3})
мы создали приведенное кубическое уравнение ![y^3+Ay^2+By+C=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?y^3+py+q=0)
Подстановкой вида
![t = w - \frac{p}{3w}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?y = w - \frac{p}{3w})
мы можем получить уравнение
![w^6 + qw^3 - \frac{p^3}{27} = 0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?w^6 + qw^3 - \frac{p^3}{27} = 0)
Фактически, это квадратное уравнение. Решив которое мы получим корни w.
Удивительно, но нам совершенно не важно какой корень мы возьмем от этого квадратного уравнения. Окончательный вариант все равно будет правильный.
А через них мы узнаем корни приведенного уравнения.
![t_1 = w_1 - \frac{p}{3w_1}, \quad t_2 = w_2 - \frac{p}{3w_2}\quad](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?t_1 = w_1 - \frac{p}{3w_1}, \\\quad t_2 = w_2 - \frac{p}{3w_2},\\\quad t_3 = w_3 - \frac{p}{3w_3}\quad)
Чем удобен такой подход, от например решения уравнения по методу Кардано?
Он алгоритмически понятен и нагляден. И это главное.
Бот корректно вычисляет корни кубического комплексного уравнения, даже в том случае, если коэффициентами являются какие либо выражения ( с вещественными и/или мнимыми значениями)
Рассмотрим примеры?
![x^3+(2-i)x^2+xsin(3-i)-7=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x^3+(2-i)x^2+xsin(3-i)-7=0)
Пишем коэффиценты слева направо (через пробел)
1 2-i sin(3-i) -7
Получаем
Исходное кубическое уравнение |
![Вид уравнения](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x^3(1)+x^2(2-1i)+\\+x(0.21775955+1.1634403i)+\\+(-7)=0) |
Первый корень |
![Первый корень](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1.39914679+0.028152010i) |
Второй корень |
![Второй корень](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?-2.182262149+2.092655208i) |
Третий корень |
![Третий корень](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?-1.216884644-1.12080721i) |
Вот еще один
![ix^3+\frac{-i}{ln(4-i)}x^2+x\frac{1}{asin(1+i)-8}+3=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?ix^3+\frac{-i}{ln(4-i)}x^2+\\+x\frac{1}{asin(1+i)-8}+3=0)
Корни его будут равны
Исходное кубическое уравнение |
![Вид уравнения](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x^3(1)+\\+x^2(0.118531-0.6854142i)+\\+x(-0.133558-0.0193274i)+(3)=0) |
Первый корень |
![Первый корень](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?0.6851530814884-1.0285408603593i) |
Второй корень |
![Второй корень](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?-1.477114515+0.23781739i) |
Третий корень |
![Третий корень](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?0.6734303882272+1.4761377339217i) |
А вот корни обычного уравнения с вещественными числами.
![x^3+6x^2-15x+22=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x^3+6x^2-15x+22=0)
"Это легкотня" - говорит моя дочь, складывая два плюс два.
Корни такого кубического уравнения
Исходное кубическое уравнение |
![Вид уравнения](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x^3(1)+x^2(6)+x(-15)+(22)=0) |
Первый корень |
![Первый корень](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1.0833067514276-1.2330213178199i) |
Второй корень |
![Второй корень](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?-8.1666135028553) |
Третий корень |
![Третий корень](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1.0833067514276+1.2330213178199i) |
Удачных расчетов!