Функция Эйлера - такая функция от целого положительного числа, значение которой равно количеству натуральных чисел, меньших заданного числа и взаимно простых с ним.
При этом полагают, что число 1 взаимно просто со всеми натуральными числами.
Если заданное число N является простым то логично предложить что функция Эйлера будет равна N-1, так как все числа меньше N, являются взаимно простыми к заданному.
Например, значение функции Эйлера числа 33 равно 20. Как такое получилось?
Разложим 33 на множители получим 3*11. Запомним их и будем сравнивать с рядом чисел от 1 до 32.
Напомним, что взаимно простыми числами являются таки числа, которые не имеют общих делителей.
Считаем взаимно простые числа: 1,2 ,3(не учитываем),4,5,6(делится на 3),7,8,9,10,11(делится на 11),12,13,14,15,16,17,18,19,20,21(делится на три),22(делится на 11),23,24,25,26,27,28,29,30,31,32
Посчитаем сколько получилось зачеркнутых чисел?
Их 12, ряд чисел содержит 32 элемента ( от 1 до 33) тогда количество не зачёркнутых (взаимно простых) чисел будет 32-12 =20
Есть еще простой способ рассчитывать значения функции
Разложим произвольное число например 4832 на простые множители.
Получим 
Функция Эйлера равна *(151^{1}-151^{0})=(32-16)(151-1)=2400)
То есть, если у вас число N представлено в виде простых сомножителей вида 
то функция Эйлера будет равна
(P_2^{B_2}-P_2^{B_2-1}).....(P_m^{B_m}-P_m^{B_m-1}))
Вот еще пример
Рассчитаем значение фунции числа 100

тогда значение функции Эйлера равно (5^{2}-5^{1})=(4-2)(25-5)=40)
Применимость числа Эйлера в теории чисел и криптографии достаточно велико, но мы будем её использовать для расчета линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.
Напоследок, представляем таблицу значений функции Эйлера для первых 500 чисел
1 |
1 |
101 |
100 |
201 |
132 |
301 |
252 |
401 |
400 |
2 |
1 |
102 |
32 |
202 |
100 |
302 |
150 |
402 |
132 |
3 |
2 |
103 |
102 |
203 |
168 |
303 |
200 |
403 |
360 |
4 |
2 |
104 |
48 |
204 |
64 |
304 |
144 |
404 |
200 |
5 |
4 |
105 |
48 |
205 |
160 |
305 |
240 |
405 |
216 |
6 |
2 |
106 |
52 |
206 |
102 |
306 |
96 |
406 |
168 |
7 |
6 |
107 |
106 |
207 |
132 |
307 |
306 |
407 |
360 |
8 |
4 |
108 |
36 |
208 |
96 |
308 |
120 |
408 |
128 |
9 |
6 |
109 |
108 |
209 |
180 |
309 |
204 |
409 |
408 |
10 |
4 |
110 |
40 |
210 |
48 |
310 |
120 |
410 |
160 |
11 |
10 |
111 |
72 |
211 |
210 |
311 |
310 |
411 |
272 |
12 |
4 |
112 |
48 |
212 |
104 |
312 |
96 |
412 |
204 |
13 |
12 |
113 |
112 |
213 |
140 |
313 |
312 |
413 |
348 |
14 |
6 |
114 |
36 |
214 |
106 |
314 |
156 |
414 |
132 |
15 |
8 |
115 |
88 |
215 |
168 |
315 |
144 |
415 |
328 |
16 |
8 |
116 |
56 |
216 |
72 |
316 |
156 |
416 |
192 |
17 |
16 |
117 |
72 |
217 |
180 |
317 |
316 |
417 |
276 |
18 |
6 |
118 |
58 |
218 |
108 |
318 |
104 |
418 |
180 |
19 |
18 |
119 |
96 |
219 |
144 |
319 |
280 |
419 |
418 |
20 |
8 |
120 |
32 |
220 |
80 |
320 |
128 |
420 |
96 |
21 |
12 |
121 |
110 |
221 |
192 |
321 |
212 |
421 |
420 |
22 |
10 |
122 |
60 |
222 |
72 |
322 |
132 |
422 |
210 |
23 |
22 |
123 |
80 |
223 |
222 |
323 |
288 |
423 |
276 |
24 |
8 |
124 |
60 |
224 |
96 |
324 |
108 |
424 |
208 |
25 |
20 |
125 |
100 |
225 |
120 |
325 |
240 |
425 |
320 |
26 |
12 |
126 |
36 |
226 |
112 |
326 |
162 |
426 |
140 |
27 |
18 |
127 |
126 |
227 |
226 |
327 |
216 |
427 |
360 |
28 |
12 |
128 |
64 |
228 |
72 |
328 |
160 |
428 |
212 |
29 |
28 |
129 |
84 |
229 |
228 |
329 |
276 |
429 |
240 |
30 |
8 |
130 |
48 |
230 |
88 |
330 |
80 |
430 |
168 |
31 |
30 |
131 |
130 |
231 |
120 |
331 |
330 |
431 |
430 |
32 |
16 |
132 |
40 |
232 |
112 |
332 |
164 |
432 |
144 |
33 |
20 |
133 |
108 |
233 |
232 |
333 |
216 |
433 |
432 |
34 |
16 |
134 |
66 |
234 |
72 |
334 |
166 |
434 |
180 |
35 |
24 |
135 |
72 |
235 |
184 |
335 |
264 |
435 |
224 |
36 |
12 |
136 |
64 |
236 |
116 |
336 |
96 |
436 |
216 |
37 |
36 |
137 |
136 |
237 |
156 |
337 |
336 |
437 |
396 |
38 |
18 |
138 |
44 |
238 |
96 |
338 |
156 |
438 |
144 |
39 |
24 |
139 |
138 |
239 |
238 |
339 |
224 |
439 |
438 |
40 |
16 |
140 |
48 |
240 |
64 |
340 |
128 |
440 |
160 |
41 |
40 |
141 |
92 |
241 |
240 |
341 |
300 |
441 |
252 |
42 |
12 |
142 |
70 |
242 |
110 |
342 |
108 |
442 |
192 |
43 |
42 |
143 |
120 |
243 |
162 |
343 |
294 |
443 |
442 |
44 |
20 |
144 |
48 |
244 |
120 |
344 |
168 |
444 |
144 |
45 |
24 |
145 |
112 |
245 |
168 |
345 |
176 |
445 |
352 |
46 |
22 |
146 |
72 |
246 |
80 |
346 |
172 |
446 |
222 |
47 |
46 |
147 |
84 |
247 |
216 |
347 |
346 |
447 |
296 |
48 |
16 |
148 |
72 |
248 |
120 |
348 |
112 |
448 |
192 |
49 |
42 |
149 |
148 |
249 |
164 |
349 |
348 |
449 |
448 |
50 |
20 |
150 |
40 |
250 |
100 |
350 |
120 |
450 |
120 |
51 |
32 |
151 |
150 |
251 |
250 |
351 |
216 |
451 |
400 |
52 |
24 |
152 |
72 |
252 |
72 |
352 |
160 |
452 |
224 |
53 |
52 |
153 |
96 |
253 |
220 |
353 |
352 |
453 |
300 |
54 |
18 |
154 |
60 |
254 |
126 |
354 |
116 |
454 |
226 |
55 |
40 |
155 |
120 |
255 |
128 |
355 |
280 |
455 |
288 |
56 |
24 |
156 |
48 |
256 |
128 |
356 |
176 |
456 |
144 |
57 |
36 |
157 |
156 |
257 |
256 |
357 |
192 |
457 |
456 |
58 |
28 |
158 |
78 |
258 |
84 |
358 |
178 |
458 |
228 |
59 |
58 |
159 |
104 |
259 |
216 |
359 |
358 |
459 |
288 |
60 |
16 |
160 |
64 |
260 |
96 |
360 |
96 |
460 |
176 |
61 |
60 |
161 |
132 |
261 |
168 |
361 |
342 |
461 |
460 |
62 |
30 |
162 |
54 |
262 |
130 |
362 |
180 |
462 |
120 |
63 |
36 |
163 |
162 |
263 |
262 |
363 |
220 |
463 |
462 |
64 |
32 |
164 |
80 |
264 |
80 |
364 |
144 |
464 |
224 |
65 |
48 |
165 |
80 |
265 |
208 |
365 |
288 |
465 |
240 |
66 |
20 |
166 |
82 |
266 |
108 |
366 |
120 |
466 |
232 |
67 |
66 |
167 |
166 |
267 |
176 |
367 |
366 |
467 |
466 |
68 |
32 |
168 |
48 |
268 |
132 |
368 |
176 |
468 |
144 |
69 |
44 |
169 |
156 |
269 |
268 |
369 |
240 |
469 |
396 |
70 |
24 |
170 |
64 |
270 |
72 |
370 |
144 |
470 |
184 |
71 |
70 |
171 |
108 |
271 |
270 |
371 |
312 |
471 |
312 |
72 |
24 |
172 |
84 |
272 |
128 |
372 |
120 |
472 |
232 |
73 |
72 |
173 |
172 |
273 |
144 |
373 |
372 |
473 |
420 |
74 |
36 |
174 |
56 |
274 |
136 |
374 |
160 |
474 |
156 |
75 |
40 |
175 |
120 |
275 |
200 |
375 |
200 |
475 |
360 |
76 |
36 |
176 |
80 |
276 |
88 |
376 |
184 |
476 |
192 |
77 |
60 |
177 |
116 |
277 |
276 |
377 |
336 |
477 |
312 |
78 |
24 |
178 |
88 |
278 |
138 |
378 |
108 |
478 |
238 |
79 |
78 |
179 |
178 |
279 |
180 |
379 |
378 |
479 |
478 |
80 |
32 |
180 |
48 |
280 |
96 |
380 |
144 |
480 |
128 |
81 |
54 |
181 |
180 |
281 |
280 |
381 |
252 |
481 |
432 |
82 |
40 |
182 |
72 |
282 |
92 |
382 |
190 |
482 |
240 |
83 |
82 |
183 |
120 |
283 |
282 |
383 |
382 |
483 |
264 |
84 |
24 |
184 |
88 |
284 |
140 |
384 |
128 |
484 |
220 |
85 |
64 |
185 |
144 |
285 |
144 |
385 |
240 |
485 |
384 |
86 |
42 |
186 |
60 |
286 |
120 |
386 |
192 |
486 |
162 |
87 |
56 |
187 |
160 |
287 |
240 |
387 |
252 |
487 |
486 |
88 |
40 |
188 |
92 |
288 |
96 |
388 |
192 |
488 |
240 |
89 |
88 |
189 |
108 |
289 |
272 |
389 |
388 |
489 |
324 |
90 |
24 |
190 |
72 |
290 |
112 |
390 |
96 |
490 |
168 |
91 |
72 |
191 |
190 |
291 |
192 |
391 |
352 |
491 |
490 |
92 |
44 |
192 |
64 |
292 |
144 |
392 |
168 |
492 |
160 |
93 |
60 |
193 |
192 |
293 |
292 |
393 |
260 |
493 |
448 |
94 |
46 |
194 |
96 |
294 |
84 |
394 |
196 |
494 |
216 |
95 |
72 |
195 |
96 |
295 |
232 |
395 |
312 |
495 |
240 |
96 |
32 |
196 |
84 |
296 |
144 |
396 |
120 |
496 |
240 |
97 |
96 |
197 |
196 |
297 |
180 |
397 |
396 |
497 |
420 |
98 |
42 |
198 |
60 |
298 |
148 |
398 |
198 |
498 |
164 |
99 |
60 |
199 |
198 |
299 |
264 |
399 |
216 |
499 |
498 |
100 |
40 |
200 |
80 |
300 |
80 |
400 |
160 |
500 |
200 |
Удачных расчетов!