Уравнение плоскости |
![Уравнение]() |
Рассмотрим задачу построения уравнения плоскости по точкам в пространстве. Эта статья лишь вершина айсберга расчета поверхностей второго порядка в пространстве. Используется такая же методика что и в материале Расчет кривой второго порядка на плоскости
![](/images/111/surf.PNG)
Уравнение плоскости в пространстве имеет вид
![Ax+By+Cz+D=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?Ax+By+Cz+D=0)
Легко заметить, что раз тут три переменные, то мы однозначно определяем все значения плоскости по трем точкам.
Самый простой способ определить уравнение плоскости это решить матричное уравнение
![\begin{pmatrix}x-x_0&x_1-x_0&x_2-x_0\\y-y_0&y_1-y_0&y_2-y_0\\z-z_0&z_1-z_0&z_2-z_0\end{pmatrix}=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\begin{pmatrix}x-x_0&x_1-x_0&x_2-x_0\\y-y_0&y_1-y_0&y_2-y_0\\z-z_0&z_1-z_0&z_2-z_0\end{pmatrix}=0)
Проверим как это работает
Пусть нам заданы три точки с координантами P0(1:-2:0) P1(2:0:-1) и P2(0:-1:2)
Подставив значения в уравнение получим.
![\begin{pmatrix}x-1&1&-1\\y+2&2&1\\z&-1&2\end{pmatrix}=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\begin{pmatrix}x-1&1&-1\\y+2&2&1\\z&-1&2\end{pmatrix}=0)
Решая уравнение мы получим вот такой результат
![5x-y+3z-7=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?5x-y+3z-7=0)
Наш бот, будет рассчитывать по своей методике и при тех же самых данных, мы получим вот такое решение.
![-0.714285714x+(0.142857143)y+(-0.428571429)z+1=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?-0.714285714x+(0.142857143)y+(-0.428571429)z+1=0)
Читатель, может сразу заметить, что коэффициенты при неизвестных совершенно другие чем мы получили через матрицу.
Но тем не менее, это одно и тоже уравнение плоскости. Достаточно лишь умножить правую и левую часть уравнения на 7
и получим
![5x-y+3z-7=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?5x-y+3z-7=0)
Что подтверждает наши расчеты и правильность вычисления.
Если у вас в результате получилось например вот такое уравнение
![Уравнение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?-0.630952381x+(-0.619047619)y+(-0.297619048)z+1=0)
А хочется получить все таки решение, где все значения в целых числах, рекомендую перевести числа в дробь. Для этого достаточно посетить материал Непрерывные, цепные дроби онлайн или в случае когда результат получается неудовлетоврительный, Вычисление приближенной правильной дроби и каждое дробное значение превратить в дробь.
И наше уравнение превращается
![-\frac{53}{84}x-\frac{52}{84}y-\frac{25}{84}z+1=0](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?-\frac{53}{84}x-\frac{52}{84}y-\frac{25}{84}z+1=0)
И умножим правую и левую часть на 84 мы получим уравнение в целых числах.
Хотелось бы заметить только одно, три точки, которые Вы будете вводить, не должны быть на одной прямой, так как в таком случае, уравнение плоскости вычислить неудастся в связи с неоднозначностью её положения в пространстве.
Удачных расчетов!