Комплексный логарифм по любому основанию
Логарифм комплексного числа по комплексному основанию |
|
Прежде, чем мы начнем речь непосредственно о логарифмах, хотелось бы поговорить о степенях чисел и их свойствах.
Действия над степенями осуществляются по следующим правилам и они Вам должны быть хорошо известны
^p=a^pb^p)
^q=a^{pq})
\(\cfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)
\((\cfrac{a}{b})^p=\cfrac{a^p}{b^p}\)
где a,b,p и q -произвольные числа.
В 16 веке когда возникла насущная потребность рассчитывать многозначные числа, чаще всего для астрономии и мореплавания, возник вопрос "А можно ли заменить умножение и деление многозначных чисел на более легкие операции сложения и вычитания?"
Взглянув на выше приведенные формулы , мы замечаем что то похожее в двух формулах
\(a^pa^q=a^{p+q}\) и \(\cfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)
Осталось теперь превратить произвольное многозначное число в число вида 
Для некоторых чисел это известно
и так далее, то есть любое число можно выразить в подобном виде.
число a - называется основание степени, p-степень числа
Итак у нас все готово для того что бы мы могли "заменить" умножение сложением, а деление - вычитанием.
Для этого придуман логарифм, обладающим таким свойством что 
a - основание логарифма, которое равно численно основанию степени.


Так вот, с 16-ого века, для решения задач, стали применять предварительно рассчитанные таблицы логарифов, для определенных чисел. В мои школьные годы мы использовали таблицы Брадиса.
Сейчас, при тотальной информатизации населения и товаров, наверное только наручные часы не умеют автоматически рассчитывать логарифмы.
Логарифмы обладают следующими свойствами
\({log_a(uv)}=log_au+log_av\)
\({log_a(\cfrac{u}{v})}=log_au-log_av\)
\({log_a(u)}^k=k*log_au\)
\({log_a(u)}^k=k*log_au\)
\(log_a(u)=\cfrac{log_bu}{log_ba}\)
Последняя формула примечательна тем, что с помощью можно рассчитывать логарифм любого числа (кроме нуля) и любого основания, в том числе и комплексных чисел
b- это основание логарифма и оно может быть любым. Поэтому мы можем взять за основу число e=2.718... и получим что
\(log_a(u)=\cfrac{ln(u)}{ln(a)}\)
Натуральные логарифы комплексных чисел мы считать уже умеем, поэтому рассчитать логарифм любого числа по любому основанию не вызовет никаких затруднений.
В основании можно кроме цифровых значений можно ввести две тестовых константы e(2.718281828459) и pi(3.1415926535898)
Если введет e - то получите значение натурального логарифма
Чему равен натуральный логарифм мнимой единицы?
Логарифм комплексного числа по комплексному основанию |
Логарифм числа 0+1i По основанию 2.718281828459 Равен = 0+1.5707963267949i
|
Таким образом бот помогает считать любые значения и выражения по любому основанию.
Где используются комплексные логарифмы?
Удачи в расчетах!