Вычислить комплексный логарифм

Вычислить комплексный логарифм

Комплексный логарифм по любому основанию

Основание логарифма
Число

Логарифм комплексного числа по комплексному основанию

Прежде, чем мы начнем речь непосредственно о логарифмах, хотелось  бы поговорить о степенях чисел и их свойствах.

Действия над степенями осуществляются по следующим правилам и они Вам должны быть  хорошо известны

умножение степеней           

?{ab}^p=a^pb^p

(a^p)^q=a^{pq}

\(\cfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)

\((\cfrac{a}{b})^p=\cfrac{a^p}{b^p}\)

где a,b,p и q -произвольные числа.

В 16 веке когда возникла насущная потребность  рассчитывать многозначные числа, чаще всего для астрономии и мореплавания, возник вопрос "А можно ли заменить умножение и деление многозначных чисел на более легкие операции сложения и вычитания?"

Взглянув на выше приведенные формулы , мы замечаем что то похожее в  двух  формулах

\(a^pa^q=a^{p+q}\)  и   \(\cfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)

Осталось теперь превратить произвольное многозначное число в число вида a^p

Для некоторых чисел  это известно 8=2^3    27=3^3  и так далее, то есть любое число можно выразить в подобном виде.

число a  - называется основание степени,  p-степень числа

Итак у нас все готово для того что бы  мы могли "заменить" умножение сложением, а деление  - вычитанием.

Для этого придуман логарифм, обладающим таким свойством что  a^{log_ab}=b

a^{log_ab}  

a - основание логарифма, которое равно численно основанию степени.

8=2^3 => log_2{8}=3

27=3^3 =>log_3{27}=3

Так вот, с 16-ого века, для решения  задач, стали применять предварительно рассчитанные таблицы логарифов, для определенных чисел. В мои школьные годы мы использовали таблицы Брадиса.

Сейчас, при тотальной информатизации населения и товаров, наверное только наручные часы не умеют автоматически рассчитывать логарифмы.

Логарифмы обладают следующими свойствами

\({log_a(uv)}=log_au+log_av\)

\({log_a(\cfrac{u}{v})}=log_au-log_av\)

\({log_a(u)}^k=k*log_au\)

\({log_a(u)}^k=k*log_au\)

\(log_a(u)=\cfrac{log_bu}{log_ba}\)

Последняя формула примечательна тем, что с помощью можно рассчитывать логарифм любого числа (кроме нуля) и любого основания, в том числе и комплексных чисел

b- это основание логарифма и оно может быть любым. Поэтому мы можем взять за основу число e=2.718... и получим  что 

\(log_a(u)=\cfrac{ln(u)}{ln(a)}\)

Натуральные логарифы комплексных чисел мы считать уже умеем, поэтому рассчитать логарифм любого числа по любому основанию не вызовет никаких затруднений.

В основании можно кроме цифровых значений  можно ввести две тестовых константы e(2.718281828459) и pi(3.1415926535898)

Если введет e - то получите значение натурального логарифма

 

Чему равен натуральный логарифм  мнимой единицы? 

Логарифм комплексного числа по комплексному основанию
Логарифм числа 0+1i
По основанию 2.718281828459
Равен = 0+1.5707963267949i
 
Таким образом бот помогает считать любые значения и выражения по любому основанию.
 
Где используются комплексные логарифмы?
 
 
Удачи в расчетах!
 

 

Поиск по сайту