ФРС. Фундаментальное решение системы уравнений

Каждое уравнение или переносится на новую строку или разделяется точкой с запятой
Исходная система уравнений
Исходные данные
Фундаментальная система решений (ФСР) данной системы уравнений
Решение системв
База системы/знаменатель
База

 

Попробуем решить систему уравнений, типа

система уравнений

Решение подобных систем неразрывно связывают с формулой приведения матрицы к треугольному виду. Это наглядно, красиво и никогда не дает сбоев.  Есть только одно но, нужно делать очень много ручной работы и использовать понятия ранга матрицы

Нет никаких сомнений подвергать выверенную веками технологию, но есть не менее красивое решение используя векторное произведение. Информации по ним на январь 2019 года в интернете нет, поэтому скромно назовемся первооткрывателем.

Это решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе  вычисление треугольной матрицы.

Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.

В чем же суть методики?

однородная система уравнений

Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим

Уравнение

А следоватетельно, корни системы равны 

однородная система уравнений

Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой

Такой же нехитрый прием используется  и при системах где количество переменных может быть и пять и десять.

Рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

система уравнений

Приведем её вот в такой вид

расширенная система

У нас получилось 6 столбцов.

На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.

На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Так как фантазии ноль, то те из переменных, которые будут правее всех, те  и станут свободными.

То есть свободными у нас будут две переменных свободные переменные

А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы

Шаг1.

Уравнение

Шаг 2.

Уравнение

Шаг 3.

Уравнение

Нет необходимости подробно рассказывать откуда  мы берем данные. Это очевидно

Интереснее то, что мы с этими "векторами" делать будем.

Разделим их на -81

получаем следующие три вектора

первый вектор

второй вектор

первый вектор

Таким образом фундаментальное решение  принимает вид

фундаментальное решение системы уравнений

Великолепно! Не правда ли....

Хочется еще что то решить.... Еще один пример

ВТорая исходная система

Это интересное уравнение, так вектора в любом сочетании будут давать ноль.

Уравнение

Уравнение

Это говорит нам о том, что одно из уравнений "лишнее". Согласимся с этим и уберем его. Например последнее.

ВТорая исходная система

Тогда нам надо выбрать две свободных переменных, пусть это будут переменные с индексами 2 и 4.

Тогда вектора находятся как

Уравнение

Уравнение

Уравнение

Разделим на -3 и наше общее решение будет иметь вид

фундаментальное решение системы уравнений

Не каждому сразу становиться ясно откуда у нас появляются нули и единицы в нашем стройном вектором ряде.  Это  связано с тем, что мы свободные переменные выбрали как нашей душе угодно, а не самые крайние правые. 

Если бы мы взяли переменные с индексами 3 и 4  как свободные то решение бы мы переписали так как нам бы выдала машина.

В начале статьи мы упомянули о критерии неразрешимости той или иной системы уравнений. В классической версии для этого исползуется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид результирующий вектор

где результирующий вектор, а среди всех оставшихся есть хотя бы один не нулевой, то такая система решений не имеет

Примеры, неразрешимых систем уравнений

нулевой вектор раз

нулевой вектор раз

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты ( мы такой пример рассмотрели выше), то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных  пропорциональна другой.

Калькулятор, представленный здесь, дает Вам возможность самому проанализировать исходную систему, за Вас он лишь сделает точные расчеты, по тем данным, что Вы ему введете.

Вот один из примеров

 

Исходная система уравнений
Исходные данные
Фундаментальная система решений (ФСР) данной системы уравнений
Решение системв
База системы/знаменатель
База

 

 
 
Поиск по сайту