Формула средней скорости движения

Рассмотрим одну из самых простейших задач, которые можно встретить в школьной программе. Итак немного теории

Средняя скорость движения - это отношение полного пути пройденного объектом на общее время затраченное на это путешествие

$V_sr = \frac{S_{al}l }{t_{all}}$

Естественно предположить, что если объект часть общего пути прошел за одно время, другую часть за другое время, а третью за третье время, то средняя скорость будет являтся отношением всех частей пути на все затраченное время.

$V_{sr} = \frac{S_1+S_2+....+S_n }{t_1+t_2+...+t_n}$

А если известно например части пути и скорость объекта на каждом пути ? Не среднее арифметическое же брать от всех скоростей... хотя очень часто именно так и поступают впервые большинство учеников, да и взрослых тоже

На самом деле, при известных частях пути и скоростей на участке формула будет следующая

$V_{sr} = \frac{S_1+S_2+....+S_n }{\frac{V_1}{S_1}+\frac{V_2}{S_2}+...+\frac{V_n}{S_n}}$

наверняка догадались как она получилась из предыдущей формулы.

Если в задании пути буду обозначаться как часть от общего ( например, первая половина пути, 2/3 пути и т.п.) то, учитывая что сумма таких частей будет равна всему пути ( равной единице), то средняя скорость будет определятся как

$V_{sr} = \frac{1 }{\frac{S_1}{V_1}+\frac{S_2}{V_2}+...+\frac{S_n}{V_n}}$

Пример:

Автомобиль проехал первую треть дороги со скоростью 60 км/ч, вторую треть дороги со скоростью 120 км/ч, третью треть дороги со скоростью 40 км/ч. найдите среднюю скорость.

Решение:

$\frac{1 }{\frac{1}{3*60}+\frac{1}{3*120}+\frac{1}{3*40}}=60$

Ответ: 60 км/час

И последний вариант формулы на среднюю скорость это когда известно время и скорость на каждом из участков.

$V_{sr} = \frac{V_1t_1+V_2t_2+....+V_nt_n }{t_1+t_2+...+t_n}$

Правда есть еще четвертый вариант, но он практически никогда не встречается в задачах. Это когда встречаются комбинированные данные, например: Пешеход, преодолевает путь из точки А в точку Б. Первую половину пути пешеход прошел со скоростью 5 км/час а вторую половину пути за 1 час. Какое расстояние между А и Б, если средняя скорость пешехода, со всеми остановками и перекурами, была 3 км/час

Смотрим вот на эту формулу $V_sr = \frac{S_{al}l }{t_{all}}$ и думаем

Части пути нам известны, то есть общее расстояние нам известно и принимается за единицу ( половина пути+половина пути равна единице пути)

Теперь со временем

На первом участке время легко вычислить ( половину пути разделить на 5 км/ч). Получаем одну десятую пути. Не пугайтесь что получилось "время равно одной десятой пути". Оно потом понадобится..

Время на втором участке известно и равно 1 час

Напишем нашу формулу по полученным данным

$V_{sr} = \frac{0.5S_{all}+0.5S_{all} }{\frac{0.5S_{all}}{5}+1}$

Выразим расстояние от точки А до точки Б через среднюю скорость и получим

$V_{sr}= \frac{10S_{all}}{S_{all}+10};S_{all}=\frac{V_{sr}}{1-\frac{V_{sr}}{10}}$

Поставим значение средней скорости получим что общее расстояние которое преодолел пешеход равно 4 километра и почти 286 метров

Сложновато? Зато интересно и увлекательно.

Из последней формулы вытекает "парадоксальный" вывод: При средней скорости приближающейся к 10 км/час расстояние между точками А и Б становится неприлично большим и уходит в бесконечность, а при 11 км/час расстояние вообще становится отрицательным.

Что хотелось бы по этому поводу сказать. не всегда надо бездумно подвергать анализу последнюю формулу, особенно когда знаменатель обращается в ноль.

Взяв предыдущую формулу - мы бы увидели что при средней скорости в 10 км/ч , расстояние просто будет неопределено. То есть при заданных условиях средняя скорость никак не может быть больше 10 км/час.

Поиск по сайту