Вы ввели следующее выражение |
![Введенное выражение]() |
Результат вычисления степени |
|
Результат выражения (альтернативный вывод) со всеми корнями |
|
Этот онлайн калькулятор рассчитывает любые степени действительных или комплексных чисел.
Поможет Вам рассчитать корень комплексного числа, возвести в степень действительное или комплексное выражение.
Рассчитывает степень любого числа
![f\left( y\right) =x^{k} f\left( y\right) =x^{k}](/images/joomlatex/96fd8f6dc90a7c7c71ab5a62893d34ca.gif)
Хотелось бы заметить, что возведение любого действительного числа в дробную степень, не так сложно как может показаться на первый взгляд.
![x^{k}= e^{k\ln \left( x\right) } x^{k}= e^{k\ln \left( x\right) }](/images/joomlatex/3030eda73d8ab2e9a0f67a9d53581c82.gif)
то есть, если мы хотим возвести число 3 в степень ![\sqrt {2} \sqrt {2}](/images/joomlatex/36f48fa655d0d90585bb6c448a60a84d.gif)
то решение такое
![\sqrt {2}\ln \left( 3\right)=1.5537 \sqrt {2}\ln \left( 3\right)=1.5537](/images/joomlatex/80e80dd4805b9772970086aca6e12369.gif)
![e^{1.5537}=4.7288 e^{1.5537}=4.7288](/images/joomlatex/0fd0266f8196ad95f90670885aafd45c.gif)
Итого
![(3^{ \sqrt {2})}=4.7288 (3^{ \sqrt {2})}=4.7288](/images/joomlatex/59db7534ecfea49193bd5fed8485c916.gif)
Если речь идет о комплексных числах, то возведение степень и извлечени корня осуществляется по уравнению Муавра.
Формулы следующие:
Для возведения в степень
![x^{k}=r^{k}\left( cos \left( kf\right) +isin \left( kf\right) \right) x^{k}=r^{k}\left( cos \left( kf\right) +isin \left( kf\right) \right)](/images/joomlatex/facd1d400dc8d40b4079ff93bfb8b6ac.gif)
- модуль комплексного числа
- аргумент комплексного числа
Для извлечения корня
![x^{\left( \dfrac {1} {k}\right) }=r^{\left( \dfrac {1} {k}\right) }cos \left( \dfrac{f+2p\pi}{2}\right) +ir^{\left( \dfrac {1} {k}\right) }sin \left(\dfrac{f+2p\pi}{2}\right) x^{\left( \dfrac {1} {k}\right) }=r^{\left( \dfrac {1} {k}\right) }cos \left( \dfrac{f+2p\pi}{2}\right) +ir^{\left( \dfrac {1} {k}\right) }sin \left(\dfrac{f+2p\pi}{2}\right)](/images/joomlatex/7fe8e6f3b4d8f322875d9f3efde4b085.gif)
где p = 0, 1, …, k—1.
Есть еще третий возможный вариант, когда не только основание является комплексным числом, но и степень этого числа также число комплексное.
Конечно возникает желание использовать формулу Муавра и преобразовать её, для наших нужд, но мы воспользуемся первым вариантом вычисления степеней.
то есть вот этой формулой ![x^{k}= e^{kln \left( x\right) } x^{k}= e^{kln \left( x\right) }](/images/joomlatex/de1c7e9cd6ab4b952eb670c2e3728fe6.gif)
Формула расчета логарифа комплексного числа известна
![ln(x+iy) = \frac{1}{2} ln(x^2+y^2)+ i \left( \varphi + 2 \pi k \right) ln(x+iy) = \frac{1}{2} ln(x^2+y^2)+ i \left( \varphi + 2 \pi k \right)](/images/joomlatex/8a95a79b4c2af6de38c16f2a88cf5ab1.gif)
здесь k - может принимать любые целые значения, поэтому говорят, что логарифм комплексного числа многозначен.
Для практических целей используется главное значение(k=0)
Формула расчета экспоненты комплексного числа тоже
![](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?e^{x+iy}=e^x(cos , y + isin , y))
Таким образом у нас есть всё, что бы рассчитать на практике комплексную степень комплексного числа.
Синтаксис
Если используете XMPP клиент: step_i <запрос>
Если используете этот сайт: <запрос>
где запрос - состоит из двух чисел. Сначала идет основание потом в другом окне степень.
Основание может быть как действительным числом так и комплексным, положительным или отрицательным
Комплексное значение пишется как x:y где х- действительная часть числа, а y- мнимая часть, но можно написать и в нормальном виде через символ i
Степень может быть быть целым числом,как положительным так и отрицательным.
Степень может быть выражена также степенью двух целых чисел например 1/2 или -5/7. В таком случае альтернативный вывод покажет Вам, все 2 или все 7 корней соответственно.
Степень может быть комплексным числом записанным как в нормальной форме через символ i, так и через сокращенную запись x:y, где x- действительная часть числа, y - мнимая часть числа
Замечание: В поле можно вводить только числа и никак не выражение, если у Вас есть желание посчитать вот такое выражение ![(\frac{i}{sin(i+1)-2i})^{3i} (\frac{i}{sin(i+1)-2i})^{3i}](/images/joomlatex/927a173a01798309108ea8191e788a14.gif)
то эта страница вам не поможет, Вам надо использовать универсальный калькулятор комплексных чисел
![f(k)=x^y f(k)=x^y](/images/joomlatex/3aa27acd8cfde21116ae23c335f4da0e.gif)
где x- это основание, а y-степень
![x^{\frac{1}{2}} =\sqrt{x} x^{\frac{1}{2}} =\sqrt{x}](/images/joomlatex/ba350067d45c1222c7e39590f886ad88.gif)
![x^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{\sqrt{x}} x^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{\sqrt{x}}](/images/joomlatex/d19f444ca87674bedc45e881c64d5850.gif)
![x^{-3} =\frac{1}{x^3} x^{-3} =\frac{1}{x^3}](/images/joomlatex/c7fb5a2ac6de7a33a5868e0b475da738.gif)
![x^{\frac{5}{2}} ={\sqrt{x}}^5 x^{\frac{5}{2}} ={\sqrt{x}}^5](/images/joomlatex/326e2d4442822aa0dbef075c13eb53b0.gif)
Примеры
Например: взять степень 2/5 от комплексного числа 1-2.5i
Пишем 1:-2.5 2/5 или если делаете запрос через Jabber step_i 1:-2.5 2/5
Ответ получим
Комплексное число 1:-2.5 в степени 2/5 равно
Действительная часть: 1.3209 Комплексная часть: -0.6812
Действительная часть: 1.0560 Комплексная часть: 1.0457
Действительная часть: -0.6682 Комплексная часть: 1.3275
Действительная часть: -1.4690 Комплексная часть: -0.2253
Действительная часть: -0.2396 Комплексная часть: -1.4667
Интересно, а чему будет равна мнимая единица в степени мнимой единицы?
пишем i i
и получаем что ![мнимая единица в комплексной степени](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?i^{i}=0.20787957635076= e^{-pi/2})
возведем еще одно число в комплексную степень.
число 1+i в комплексную степень 1-i
результат вот такой ![комплексная степень числа](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?(1+i)^{1-i}=2.8078792972606+1.3178651729012i)