Свойства обратных тригонометрических функций

В данном материале нет калькуляторов. Это справочная информация, для дальнейшего использования. Формулы достаточно редки на просторах интернета, поэтому с радостью делюсь  ими с Вами.

Сумма арксинусов

\(asin(x)+asin(b)=\begin{cases} asin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}), if & xy\leq& 0& or& x^2+y^2 &\leq &1 \\\pi- asin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}), if & x&\geq&0,y&\geq&0&and&x^2+y^2 &\geq &1\\-\pi- asin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}), if & x&\leq&0,y&\leq&0&and&x^2+y^2 &\geq &1\end{cases}\)

Разница арксинусов

\(asin(x)-asin(b)=\begin{cases} asin(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}), if & xy\geq& 0& or& x^2+y^2 &\leq &1 \\\pi- asin(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}), if & x&\geq&0,y&\leq&0&and&x^2+y^2 &\geq &1\\-\pi- asin(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}), if & x&\leq&0,y&\geq&0&and&x^2+y^2 &\geq &1\end{cases}\)

Сумма арккосинусов

\(acos(x)+acos(y)=\begin{cases} acos(xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}), if& x+y &\geq &0 \\2\pi-acos(xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}), if&x+y&\leq &0\end{cases}\)

Разница арккосинусов

\(acos(x)-acos(y)=\begin{cases} -acos(xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}), if& x&\geq &y \\acos(xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}), if&x&< &y\end{cases}\)

Сумма арктангенсов

\(atan(x)+atan(y)=\begin{cases} atan(\cfrac{x+y}{1-xy}), if & xy<&1&  \\\pi+atan(\cfrac{x+y}{1-xy}), if & x&>&0,xy&> &1\\-\pi+atan(\cfrac{x+y}{1-xy}), if & x&<&0,xy&> &1\end{cases}\)

Разность арктангенсов

\(atan(x)-atan(y)=\begin{cases} atan(\cfrac{x-y}{1+xy}), if & xy>&-1&  \\\pi+atan(\cfrac{x-y}{1+xy}), if & x&>&0,xy&< &-1\\-\pi+atan(\cfrac{x-y}{1+xy}), if & x&<&0,xy&< &-1\end{cases}\)

Удвоение арккосинуса

\(2acos(x)=\begin{cases}acos(2x^2-1), if&0\leq&x&\leq&1\\2\pi-acos(2x^2-1), if&-1\leq&x&\leq&0\end{cases}\)

Удвоение арксинуса

\(2asin(x)=\begin{cases} asin(2x\sqrt{1-x^2}), if & \lvert{x}\rvert&\leq&\cfrac{\sqrt{2}}{2}& \\\pi-asin(2x\sqrt{1-x^2}), if & \cfrac{\sqrt{2}}{2}<&x&\leq&1&\\-\pi-asin(2x\sqrt{1-x^2}), if & -\leq&x&<&-\cfrac{\sqrt{2}}{2}&\end{cases}\)

Удвоение артангенса

\(2atan(x)=\begin{cases}atan(\cfrac{2x}{1-x^2}), if & \lvert{x}\rvert&<&1& \\\pi+atan(\cfrac{2x}{1-x^2}), if & x&>&1& \\-\pi+atan(\cfrac{2x}{1-x^2}), if & x&<&-1\end{cases}\) 

Бисеция (деление на два) арксинуса

\(\cfrac{asin(x)}{2}=\begin{cases}asin(\sqrt{\cfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{2}}), if&0\leq&x&\leq&1\\-asin(\sqrt{\cfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{2}}), if&-1\leq&x&<&0\end{cases}\)

Бисеция (деление на два) арккосинуса

\(\cfrac{acos(x)}{2}=\begin{cases}acos(\sqrt{\cfrac{1+x}{2}}), if&-1\leq&x&\leq&1\end{cases}\)

Бисеция (деление на два) арктангенса

\(\cfrac{atan(x)}{2}=\begin{cases}atan(\sqrt{\cfrac{1+x^2}{2}}), if&x&\not=0\\0, if&x&=0\end{cases}\)

Поиск по сайту