Сумма натурального ряда
![1+2+3+4+5+....+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1+2+3+4+5+....+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2})
Это известная формула, открытая еще Гауссом в шестилетнем возрасте.
Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен во вторую степень
![1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+....+(n-1)^2+n^2=\frac{1}{6}(2n^3+3n^2+n)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+....+(n-1)^2+n^2=\frac{1}{6}(2n^3+3n^2+n))
Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в третью степень
![1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+....+(n-1)^3+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+....+(n-1)^3+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2)
Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в четвертую степень
![1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+....+(n-1)^4+n^4=\frac{1}{30}(6n^5+15n^4+10n^3-n)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+....+(n-1)^4+n^4=\frac{1}{30}(6n^5+15n^4+10n^3-n))
Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в пятую степень
![1^5+2^5+3^5+4^5+5^5+....+(n-1)^5+n^5=\frac{1}{12}(2n^6+6n^5+5n^4-n^2)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1^5+2^5+3^5+4^5+5^5+....+(n-1)^5+n^5=\frac{1}{12}(2n^6+6n^5+5n^4-n^2))
Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в шестую степень
![1^6+2^6+3^6+4^6+5^6+....+(n-1)^6+n^6=\frac{1}{42}(6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1^6+2^6+3^6+4^6+5^6+....+(n-1)^6+n^6=\frac{1}{42}(6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n))
Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в седьмую степень
![1^7+2^7+3^7+4^7+5^7+....+(n-1)^7+n^7=\frac{1}{24}(3n^8+12n^7+14n^6-7n^4+2n^2)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1^7+2^7+3^7+4^7+5^7+....+(n-1)^7+n^7=\frac{1}{24}(3n^8+12n^7+14n^6-7n^4+2n^2))
Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в восьмую степень
![1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+....+(n-1)^3+n^3=(\frac{n(n-1)}{2})^2](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1^8+2^8+3^8+4^8+5^8+....+(n-1)^8+n^8=\frac{1}{360}(40n^9+180n^8+240n^7-168n^5+80n^3-12n))
Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в девятую степень
![1^9+2^9+3^9+4^9+5^9+....+(n-1)^9+n^9=\frac{1}{180}(18n^{10}+90n^9+135n^8-126n^6+90n^4-27n^2)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1^9+2^9+3^9+4^9+5^9+....+(n-1)^9+n^9=\frac{1}{180}(18n^{10}+90n^9+135n^8-126n^6+90n^4-27n^2))
Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в десятую степень
![1^{10}+2^{10}+3^{10}+4^{10}+5^{10}+....+(n-1)^{10}+n^{10}=\frac{1}{66}(6n^{11}+33n^{10}+55n^9-66n^7+66n^5-33n^3+5n)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1^{10}+2^{10}+3^{10}+4^{10}+5^{10}+....+(n-1)^{10}+n^{10}=\frac{1}{66}(6n^{11}+33n^{10}+55n^9-66n^7+66n^5-33n^3+5n))
Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в одинадцатую степень
![1^{11}+2^{11}+3^{11}+4^{11}+5^{11}+....+(n-1)^{11}+n^{11}=\frac{1}{24}(2n^{12}+12n^{11}+22n^{10}-33n^8+44n^6-33n^4+10n^2)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1^{11}+2^{11}+3^{11}+4^{11}+5^{11}+....+(n-1)^{11}+n^{11}=\frac{1}{24}(2n^{12}+12n^{11}+22n^{10}-33n^8+44n^6-33n^4+10n^2))
Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в двенадцатую степень
![1^{12}+2^{12}+3^{12}+4^{12}+5^{12}+....+(n-1)^{12}+n^{12}=\frac{1}{2730}(210n^{13}+1365n^{12}+2730n^{11}-5005n^9+8580n^7-9009n^5+4550n^3-691n)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?1^{12}+2^{12}+3^{12}+4^{12}+5^{12}+....+(n-1)^{12}+n^{12}=\frac{1}{2730}(210n^{13}+1365n^{12}+2730n^{11}-5005n^9+8580n^7-9009n^5+4550n^3-691n))