Исходный полином |
![Вид уравнения]() |
Факториальный многочлен имеет вид |
![Приведенное уравнение]() |
Рассмотрим одну из задач математического анализа. При вычислении конечных разностей какого либо полинома, для упрощения расчетов нам просто необходимо вычислить так называемый факториальный многочлен.
Что же он собой представляет?
Если у нас есть многочлена вида
![?f(x)=a_0x^{4}+a_1x^{3}+a_2x^{2}+a_{3}x+a_4](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=a_0x^{4}+a_1x^{3}+a_2x^{2}+a_{3}x+a_4)
то факториальный многочлен имеет вид
![f(x)=b_0x(x-1)(x-2)(x-3)+b_1x(x-1}(x-2)+b_2x(x-1)+.....+b_{n-1}x+b_n](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=b_0x(x-1)(x-2)(x-3)+b_1x(x-1)(x-2)+b_2x(x-1)+b_{3}x+b_4)
Алгоритм расчета коэффициентов факториального полинома очень прост.
1. Для заданного полинома берем значение k=0 и по методу Горнера узнаем частное и остаток многочлена .
2. Остаток полинома является значением коэффицента bk
3. Частное считаем за исходный полином
4. Прибавляем единицу к=к+1 и повторяем пункты 1-3
5. Прекращаем цикл если k значению высшей степени при изначальной функции.
Для факторильный многочленом имеется своё представление что бы не записывать длиннющую строку поэтому вот такой вид
![f(x)=b_0x(x-1)(x-2)(x-3)+b_1x(x-1}(x-2)+b_2x(x-1)+.....+b_{n-1}x+b_n](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=b_0x(x-1)(x-2)(x-3)+b_1x(x-1)(x-2)+b_2x(x-1)+b_{3}x+b_4)
Представим в виде
![f(x)=b_0x(x-1)(x-2)(x-3)+b_1x(x-1}(x-2)+b_2x(x-1)+.....+b_{n-1}x+b_n](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=b_0x^{(4)}+b_1x^{(3)}+b_2x^{(2)}+b_{3}x^{(1)}+b_4)
Пример
Задана функция
![f(x)=x^{4}-8x^{3}+21x^{2}-6x+3](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=x^{4}-8x^{3}+21x^{2}-6x+3)
Превратить её в факториальный полином
Разделим этот полином на x-0 получим
Остаток равен 3 и это значение коэффицента b4
Теперь функцию ![f(x)=x^3+(-8)*x^2+(21)*x^1+(-6)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=x^3+(-8)*x^2+(21)*x^1+(-6))
разделим на x-1
Заданный многочлен имеет вид |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=x^3+(-8)*x^2+(21)*x^1+(-6)) |
если разделим его |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x-(1)) |
Получим многочлен |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?q(x)=x^2+(-7)*x^1+(14)) |
и остаток |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?r=8) |
Остаток равен 8 и это значение коэффицента b3
Разделим ![f(x)=x^2+(-7)*x^1+(14)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=x^2+(-7)*x^1+(14))
на x-2
Заданный многочлен имеет вид |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=x^2+(-7)*x^1+(14)) |
если разделим его |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x-(2)) |
Получим многочлен |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?q(x)=x^1+(-5)) |
и остаток |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?r=4) |
Остаток равен 4 и это значение коэффицента b2
И последняя операция деления
делим
на x-3
Заданный многочлен имеет вид |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=x^1+(-5)) |
если разделим его |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?x-(3)) |
Получим многочлен |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?q(x)=(1)) |
и остаток |
![Введенное выражение](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?r=-2) |
Остаток равен -2 и это коэффицент b1
так как многочлен в кнце концов превратился в единицу то это и будет значением b0
Таким образом наш факториальный многочлен имеет вид
![f(x)=x^{(4)}-2x^{(3)}+4x^{(2)}+8x^{(1)}+3](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=x^{(4)}-2x^{(3)}+4x^{(2)}+8x^{(1)}+3)
Такое преобразование от обычного многочлена к факториальному виду, распрострняется и на комплексные коэффиценты, что полностью открывает область применения данного скрипта/бота.
Где могут применяться факториальные многочлены? Одно из применений это вывод формул суммы степенных рядов. Никогда бы не поверил, но это так и я попытаюсь в одной из статей рассказать Вам об этом.
Обратная конвертация из факториального многочлена в обычный расположена по адресу Из факториального полинома в обычный