Заданный многочлен имеет вид |
![Введенное выражение]() |
если разложим по степеням вида |
![Введенное выражение]() |
Получим многочлен |
![Введенное выражение]() |
В данном материале мы рассмотрим как можно разложить произвольный многочлен от одной переменной по степеням
Практические задачи, которые попадаются в учебниках и которые можно решить с помощью бота, выглядят вот так:
Разложить на простейшие дроби рациональную дробь
\(\cfrac{x^3+2x-3}{(x+3)^4}\)
или
Разложить многочлен по степеням x многочлен
где =x^5-5x^4-4x^3+2)
И тот, и другой пример можно решить используя метод Горнера , только необходимо этот метод применить столько раз, сколько имеет максимальное значение степени при неизвестном.
Сначала рассмотрим последний пример
Разложим по методу Горнера заданный многочлен на вот такое значение )
Почему стоит минус, а не плюс как в исходной задаче, спросите Вы. Не торопитесь, всему своё время.
\(\cfrac{x^5-5x^4-4x^3+2}{x-3}=x^4-2x^3-10x^2-30x^1-90-\cfrac{268}{x-3}\)
Запомним остаток -268
и разделим уже полученный многочлен
опять на 
получим
и остаток -243
Еще раз проделаем операцию деления
получим
и остаток -36
Еще раз проделаем операцию деления
получим
и остаток 26
Еще раз проделаем операцию деления
получим
и остаток 10
Еще раз проделаем операцию деления
получим ----- и остаток 1
Теперь составим из наших остатков вот такой многочлен
=(x-3)^5+10(x-3)^4+26(x-3)^3-36(x-3)^2-243(x-3)-268)
Вот это нам будет считать бот автоматически, а две последующие строки мы делаем вручную
Теперь заменим
и получим
=x^5+10x^4+26x^3-36x^2-243x-268)
Вот и всё. Поняли почему мы раскладывали множитель на
а не
?
Бот выдает результирующий многочлен с несколько избыточным количеством скобок. Не думаю что это у Вас вызовет какое либо раздражение.
Разложение по степеням многочлена может осуществляется так же и в комплексной плоскости, то есть все коэффициенты могут быть комплексными числами.
Давайте рассмотрим пример первый
Разложить на простейшие дроби рациональную дробь
\(\cfrac{x^3+2x-3}{(x+3)^4}\)
Логично предположить что нам числитель
необходимо разложить по степеням 
получим результат =(x-(-3))^3+(-9)*(x-(-3))^2+(29)*(x-(-3))^1+(-36))
и наш ответ будет такой
\(f(x)=\cfrac{1}{x+3}-\cfrac{9}{(x+3)^2}+\cfrac{29}{(x+3)^3}-\cfrac{36}{(x+3)^4}\)
Если Вы попали на эту страницу, ища ответ на вопрос наподобие вот этого "как разложить в произведение множителей число 1800" то Вам несомненно стоит прочитать материал Простые множители. Теория чисел
Удачных расчетов!