Онлайн разложение дробно рациональной функции

Разложение на простые дроби
Коэффициенты многочлена (числителя) через пробел
Полюса/корни многочлена (знаменателя) через пробел
Заданная дробно-рациональная функция
Раскладывается на сумму простых множителей со следующими коэффициентами

В этой статье будет рассматриваться и вычисляться разложение  дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей.

Дробно-рациональная функция имеет следующий вид

\(\cfrac{ax^m+bx^{m-1}+cx^{m-2}+.....+wx+r}{Ax^n+Bx^{n-1}+Cx^{n-2}+.....+Wx+R}\)

Например такой

\(\cfrac{x^2-3x+1}{x^4+x^3-8x^2-5}\)

Если степень при неизвестном в числителя  меньше, чем степень при неизвестном  в знаменателе ( как это показано в примере) то такая функция называется правильной дробно-рациональной.

Каждую правильную дробно-рациональную функцию можно разложить на  сумму простейших дробей.

Простейшая дробь имеет общий вид \(\cfrac{G}{(x+J)^d}\)

Например  \(\cfrac{2}{(x+3)}\)или \(\cfrac{-8}{(x-4)^5}\)

Практически в каждом подобном интернет-ресурсе, в котором рассказывается о разложении дробей, в качестве метода решения используется метод неопределенных коэффициентов. Останавливаться мы на этом методе не будем, так как  не хочу плодить еще одну копию  с немного другим текстом. Напомним лишь, что там необходимо решать систему линейных уравнений.

Мы с Вами будем использовать другую методику, да и онлайн калькулятор тоже возьмет эту методику на вооружение.

Исходная  дробь

\(\cfrac{x^2+x+2}{x^5-5x^4-21x^3+41x^2+68x-84}\)

Итак, если мы знаем все корни знаменателя в нашей функции  то можно преобразовать 

\(\cfrac{x^2+x+2}{x^5-5x^4-21x^3+41x^2+68x-84}=\cfrac{x^2+x+2}{(x-1)(x+3)(x-7)(x+2)(x-2)}\)

То есть нам надо разложить функцию в следующий вид

\(\cfrac{x^2+x+2}{(x-1)(x+3)(x-7)(x+2)(x-2)}=\cfrac{A}{(x-1)}+\cfrac{B}{(x+3)}+\cfrac{C}{(x-7)}+\cfrac{D}{(x+2)}+\cfrac{E}{(x-2)}\)

и определить все неизвестные коэффициенты

Воспользуемся  методом(иногда его называют метод частных значений), практика применения такова:

Пусть x=1 тогда подставляя это значение в числитель мы получим значение 4, подставив в знаменатель без (x-1) мы получим (1+3)(1-7)(1+2)(1-2)=72

Таким образом коэффициент \(\cfrac{4}{72}=\cfrac{1}{18}\)

Теперь пусть x=-3 Тогда числитель равен (-3)^2+(-3)+2=8, а знаменатель (-3-1)(-3-7)(-3+2)(-3-2)=200

Таким образом коэффициент \(B=\cfrac{8}{200}=\cfrac{1}{25}\)

Пробегая, по всем x, равными 1, -3, 7, -2, 2  мы вычисляем коэффициенты 

\(A=\cfrac{1}{18}\)

\(B=\cfrac{1}{25}\)

\(C=\cfrac{29}{1350}\)

\(D=-\cfrac{1}{27}\)

\(E=-\cfrac{2}{25}\)

Наш ответ такой

\(\cfrac{x^2+x+2}{x^5-5x^4-21x^3+41x^2+68x-84}=\cfrac{-2}{25(x-2)}+\cfrac{1}{18(x-1)}-\cfrac{1}{27(x+2)}+\cfrac{1}{25(x+3)}+\cfrac{29}{1350(x-7)}\)

На мой взгляд это решение проще. Но эта методика может использоваться тогда, когда в знаменателе нет кратных корней.

"Как? Такой легкий способ и неприменим, в случае кратных корней?" - огорченно воскликнет читатель.

Не все так плохо на самом деле. Просто в случае кратных корней например \(\cfrac{x^2+x+2}{(x-1)^3(x+3)(x-7)^2}\)расчет более сложный. Алгоритм сейчас объясню. 

Но для этого Вы должны уметь вычислять производную многочлена, надеюсь Вы это умеете.

Первым делом преобразуем знаменатель в многочлен. Что бы не умножать вручную воспользуемся Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн

Введем корни знаменателя с учетом их кратности 1 1 1 -3 7 7

Получаем x^6+(-14)*x^5+(43)*x^4+(92)*x^3+(-409)*x^2+(434)*x^1+(-147)

Нам надо исходную дробь преобразовать  в такой вид

\(\cfrac{x^2+x+2}{(x-1)^3(x+3)(x-7)^2}=\cfrac{A}{(x-1)}+\cfrac{B}{(x-1)^2}+\cfrac{C}{(x-1)^3}+\cfrac{D}{(x+3)}+\cfrac{E}{(x-7)}+\cfrac{F}{(x-7)^2}\)

На основании выше разобранного примера мы сразу можем узнать чему равны коэффициенты D, C и F

\(D=\cfrac{(-3)^2-3+2}{(-3-1)^3(-3-7)^2}=\cfrac{8}{-64*100}=-\cfrac{1}{800}\)

\(C=\cfrac{(1)^2+1+2}{(1+3)(1-7)^2}=\cfrac{4}{4*36}=\cfrac{1}{36}\)

\(F=\cfrac{7^2+7+2}{(7-1)^3(7+3)}=\cfrac{58}{216*10}=\cfrac{29}{1080}\)

Попробуем узнать коэффициент B

Возьмем первую производную от числителя. Она равна 2x+1.

Подставим туда единицу, разделим на один факториал  1!=1  и и запомним значение = 3

Теперь знаменатель. Узнаем значения производных знаменателя ( при x=1) через онлайн сервис Значение производной многочлена по методу Горнера

Введя коэффициенты  полинома x^6+(-14)*x^5+(43)*x^4+(92)*x^3+(-409)*x^2+(434)*x^1+(-147)

получаем таблицу

Заданная функция
Введенное выражение
Производная Значение производной при X=1
0 0
1 0
2 0
3 864
4 -288
5 -960
6 720

Первая и вторая производная равны нулю, но это и логично, так как корень 1 имеет кратность 3. 

Значение третьей производной равно 864

Составляем уравнение

3(это числитель, который я просил запомнить)=B*864/3!(три факториал)+C*(-288)/4!

Пока для большинства вообще неочевидно, что и откуда но не волнуйтесь - знания придут.

C нам известно и получаем уравнение с одной неизвестной

3=B*864/6-288/36/24

\(B=\cfrac{20}{864}=\cfrac{5}{216}\)

Давайте узнаем чему же равен кэффициент A.

У нас почти все есть

Берем вторую производную от числителя. Она равна постоянному числу =2

Разделим на два факториал  2!=2  и и запомним значение = 1

Теперь составляем уравнение

1=A*864/3!+B*(-288)/4!+C(-960)/5!

B и C нам известны.

\(1=144A-12B-8C=144A-12\cfrac{5}{216}-8\cfrac{1}{36}\)

\(A=\cfrac{1}{96}\)

То есть 

\(\cfrac{x^2+x+2}{(x-1)^3(x+3)(x-7)^2}=\cfrac{1}{96(x-1)}+\cfrac{5}{216(x-1)^2}+\cfrac{1}{36(x-1)^3}+\cfrac{-1}{800(x+3)}+\cfrac{E}{(x-7)}+\cfrac{29}{1080(x-7)^2}\)

Значение коэффициента E я Вам оставляю на домашнее задание, если методика заинтересовала. Если же нет то  вот ответ

\(E=\cfrac{-11}{1200}\)

Онлайн калькулятор который будет все это делать за Вас в автоматическом режиме, работает в том числе и в поле комплексных чисел.

Теперь разложить любую правильную дробно-рациональную функцию на простейшие не составит ни малейшего труда. 

 
Поиск по сайту