| Заданная дробно-рациональная функция |
|
| Раскладывается на сумму простых множителей со следующими коэффициентами |
|
В этой статье будет рассматриваться и вычисляться разложение дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей.
Дробно-рациональная функция имеет следующий вид
\(\cfrac{ax^m+bx^{m-1}+cx^{m-2}+.....+wx+r}{Ax^n+Bx^{n-1}+Cx^{n-2}+.....+Wx+R}\)
Например такой
\(\cfrac{x^2-3x+1}{x^4+x^3-8x^2-5}\)
Если степень при неизвестном в числителя меньше, чем степень при неизвестном в знаменателе ( как это показано в примере) то такая функция называется правильной дробно-рациональной.
Каждую правильную дробно-рациональную функцию можно разложить на сумму простейших дробей.
Простейшая дробь имеет общий вид \(\cfrac{G}{(x+J)^d}\)
Например \(\cfrac{2}{(x+3)}\)или \(\cfrac{-8}{(x-4)^5}\)
Практически в каждом подобном интернет-ресурсе, в котором рассказывается о разложении дробей, в качестве метода решения используется метод неопределенных коэффициентов. Останавливаться мы на этом методе не будем, так как не хочу плодить еще одну копию с немного другим текстом. Напомним лишь, что там необходимо решать систему линейных уравнений.
Мы с Вами будем использовать другую методику, да и онлайн калькулятор тоже возьмет эту методику на вооружение.
Исходная дробь
\(\cfrac{x^2+x+2}{x^5-5x^4-21x^3+41x^2+68x-84}\)
Итак, если мы знаем все корни знаменателя в нашей функции то можно преобразовать
\(\cfrac{x^2+x+2}{x^5-5x^4-21x^3+41x^2+68x-84}=\cfrac{x^2+x+2}{(x-1)(x+3)(x-7)(x+2)(x-2)}\)
То есть нам надо разложить функцию в следующий вид
\(\cfrac{x^2+x+2}{(x-1)(x+3)(x-7)(x+2)(x-2)}=\cfrac{A}{(x-1)}+\cfrac{B}{(x+3)}+\cfrac{C}{(x-7)}+\cfrac{D}{(x+2)}+\cfrac{E}{(x-2)}\)
и определить все неизвестные коэффициенты
Воспользуемся методом(иногда его называют метод частных значений), практика применения такова:
Пусть x=1 тогда подставляя это значение в числитель мы получим значение 4, подставив в знаменатель без (x-1) мы получим (1+3)(1-7)(1+2)(1-2)=72
Таким образом коэффициент \(\cfrac{4}{72}=\cfrac{1}{18}\)
Теперь пусть x=-3 Тогда числитель равен (-3)^2+(-3)+2=8, а знаменатель (-3-1)(-3-7)(-3+2)(-3-2)=200
Таким образом коэффициент \(B=\cfrac{8}{200}=\cfrac{1}{25}\)
Пробегая, по всем x, равными 1, -3, 7, -2, 2 мы вычисляем коэффициенты
\(A=\cfrac{1}{18}\)
\(B=\cfrac{1}{25}\)
\(C=\cfrac{29}{1350}\)
\(D=-\cfrac{1}{27}\)
\(E=-\cfrac{2}{25}\)
Наш ответ такой
\(\cfrac{x^2+x+2}{x^5-5x^4-21x^3+41x^2+68x-84}=\cfrac{-2}{25(x-2)}+\cfrac{1}{18(x-1)}-\cfrac{1}{27(x+2)}+\cfrac{1}{25(x+3)}+\cfrac{29}{1350(x-7)}\)
На мой взгляд это решение проще. Но эта методика может использоваться тогда, когда в знаменателе нет кратных корней.
"Как? Такой легкий способ и неприменим, в случае кратных корней?" - огорченно воскликнет читатель.
Не все так плохо на самом деле. Просто в случае кратных корней например \(\cfrac{x^2+x+2}{(x-1)^3(x+3)(x-7)^2}\)расчет более сложный. Алгоритм сейчас объясню.
Но для этого Вы должны уметь вычислять производную многочлена, надеюсь Вы это умеете.
Первым делом преобразуем знаменатель в многочлен. Что бы не умножать вручную воспользуемся Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн
Введем корни знаменателя с учетом их кратности 1 1 1 -3 7 7
Получаем *x^5+(43)*x^4+(92)*x^3+(-409)*x^2+(434)*x^1+(-147))
Нам надо исходную дробь преобразовать в такой вид
\(\cfrac{x^2+x+2}{(x-1)^3(x+3)(x-7)^2}=\cfrac{A}{(x-1)}+\cfrac{B}{(x-1)^2}+\cfrac{C}{(x-1)^3}+\cfrac{D}{(x+3)}+\cfrac{E}{(x-7)}+\cfrac{F}{(x-7)^2}\)
На основании выше разобранного примера мы сразу можем узнать чему равны коэффициенты D, C и F
\(D=\cfrac{(-3)^2-3+2}{(-3-1)^3(-3-7)^2}=\cfrac{8}{-64*100}=-\cfrac{1}{800}\)
\(C=\cfrac{(1)^2+1+2}{(1+3)(1-7)^2}=\cfrac{4}{4*36}=\cfrac{1}{36}\)
\(F=\cfrac{7^2+7+2}{(7-1)^3(7+3)}=\cfrac{58}{216*10}=\cfrac{29}{1080}\)
Попробуем узнать коэффициент B
Возьмем первую производную от числителя. Она равна 
.
Подставим туда единицу, разделим на один факториал 1!=1 и и запомним значение = 3
Теперь знаменатель. Узнаем значения производных знаменателя ( при x=1) через онлайн сервис Значение производной многочлена по методу Горнера
Введя коэффициенты полинома
получаем таблицу
| Заданная функция |
=x^{6}+(-14)*x^{5}+(43)*x^{4}+(92)*x^{3}+(-409)*x^{2}+(434)x+(-147)) |
| Производная |
Значение производной при X=1 |
| 0 |
0 |
| 1 |
0 |
| 2 |
0 |
| 3 |
864 |
| 4 |
-288 |
| 5 |
-960 |
| 6 |
720 |
|
Первая и вторая производная равны нулю, но это и логично, так как корень 1 имеет кратность 3.
Значение третьей производной равно 864
Составляем уравнение
3(это числитель, который я просил запомнить)=B*864/3!(три факториал)+C*(-288)/4!
Пока для большинства вообще неочевидно, что и откуда но не волнуйтесь - знания придут.
C нам известно и получаем уравнение с одной неизвестной
3=B*864/6-288/36/24
\(B=\cfrac{20}{864}=\cfrac{5}{216}\)
Давайте узнаем чему же равен кэффициент A.
У нас почти все есть
Берем вторую производную от числителя. Она равна постоянному числу =2
Разделим на два факториал 2!=2 и и запомним значение = 1
Теперь составляем уравнение
1=A*864/3!+B*(-288)/4!+C(-960)/5!
B и C нам известны.
\(1=144A-12B-8C=144A-12\cfrac{5}{216}-8\cfrac{1}{36}\)
\(A=\cfrac{1}{96}\)
То есть
\(\cfrac{x^2+x+2}{(x-1)^3(x+3)(x-7)^2}=\cfrac{1}{96(x-1)}+\cfrac{5}{216(x-1)^2}+\cfrac{1}{36(x-1)^3}+\cfrac{-1}{800(x+3)}+\cfrac{E}{(x-7)}+\cfrac{29}{1080(x-7)^2}\)
Значение коэффициента E я Вам оставляю на домашнее задание, если методика заинтересовала. Если же нет то вот ответ
\(E=\cfrac{-11}{1200}\)
Онлайн калькулятор который будет все это делать за Вас в автоматическом режиме, работает в том числе и в поле комплексных чисел.
Теперь разложить любую правильную дробно-рациональную функцию на простейшие не составит ни малейшего труда.
