Дробно-рациональная функция. Разложение на простейшие

В этой статье будет рассматриваться и вычисляться разложение  дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей.

Дробно-рациональная функция имеет следующий вид

\frac{ax^m+bx^{m-1}+cx^{m-2}+.....+wx+r}{Ax^n+Bx^{n-1}+Cx^{n-2}+.....+Wx+R}

Например такой

\frac{x^2-3x+1}{x^4+x^3-8x^2-5}

Если степень при неизвестном в числителя  меньше, чем степень при неизвестном  в знаменателе ( как это показано в примере) то такая функция называется правильной дробно-рациональной.

Каждую правильную дробно-рациональную функцию можно разложить на  сумму простейших дробей.

Простейшая дробь имеет общий вид \frac{G}{(x+J)^d}

Например \frac{2}{(x+3)} или \frac{-8}{(x-4)^5}

Практически в каждом подобном интернет-ресурсе, в котором рассказывается о разложении дробей, в качестве метода решения используется метод неопределенных коэффициентов. Останавливатся мы на этом методе не будем, так как  не хочу плодить еще одну копию  с немного другим текстом. Напомним лишь, что там необходимо решать систему линейных уравнений.

Мы с Вами будем использовать другую методику, да и онлайн калькулятор тоже возьмет эту методику на вооружение.

Исходная  дробь

\frac{x^2+x+2}{x^5-5x^4-21x^3+41x^2+68x-84}

Итак, если мы знаем все корни знаменателя в нашей функции  то можно преобразовать 

\frac{x^2+x+2}{x^5-5x^4-21x^3+41x^2+68x-84}=\frac{x^2+x+2}{(x-1)(x+3)(x-7)(x+2)(x-2)}

То есть нам надо разложить функцию в следующий вид

\frac{x^2+x+2}{x^5-5x^4-21x^3+41x^2+68x-84}=\frac{x^2+x+2}{(x-1)(x+3)(x-7)(x+2)(x-2)}

и определить все неизвестные коэффициенты

Воспользуемся  методом(иногда его называют метод частных значений), практика применения такова:

Пусть x=1 тогда подставляя это значение в числитель мы получим значение 4, подставив в знаменатель без (x-1) мы получим (1+3)(1-7)(1+2)(1-2)=72

Таким образом коэффициент A=\frac{4}{72}=\frac{1}{18}

Теперь пусть x=-3 Тогда числитель равен (-3)^2+(-3)+2=8, а знаменатель (-3-1)(-3-7)(-3+2)(-3-2)=200

Таким образом коэффициент B=\frac{8}{200}=\frac{1}{25}

Пробегая, по всем x, равными 1, -3, 7, -2, 2  мы вычисляем коэффициенты 

A=\frac{1}{18}

B=\frac{1}{25}

C=\frac{29}{1350}

D=-\frac{1}{27}

E=-\frac{2}{25}

Наш ответ такой

\frac{x^2+x+2}{x^5-5x^4-21x^3+41x^2+68x-84}=\frac{-2}{25 (x - 2)} + \frac{1}{18 (x - 1)} - \frac{1}{27(x + 2)} + \frac{1}{25 (x + 3)} + \frac{29}{1350 (x - 7)}

На мой взгляд это решение проще. Но эта методика может использоватся тогда, когда в знаменателе нет кратных корней.

"Как? Такой легкий способ и неприменим, в случае кратных корней?" - огорченно воскликнет читатель.

Не все так плохо на самом деле. Просто в случае кратных корней например  \frac{x^2+x+2}{(x-1)^3(x+3)(x-7)^2} расчет более сложный. Алгоритм сейчас объясню. 

Но для этого Вы должны уметь вычислять производную многочлена, надеюсь Вы это умеете.

Первым делом преобразуем знаменатель в многочлен. Что бы не умножать вручную воспользуемся Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн

Введем корни знаменателя с учетом их кратности 1 1 1 -3 7 7

Получаем x^6+(-14)*x^5+(43)*x^4+(92)*x^3+(-409)*x^2+(434)*x^1+(-147)

Нам надо исходную дробь преобразовать  в такой вид

\frac{x^2+x+2}{(x-1)^3(x+3)(x-7)^2}==\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{D}{(x-3)}+\frac{E}{(x-7)}+\frac{F}{(x-7)^2}

На основании вышеразобранного примера мы сразу можем узнать чему равны коэффициенты D, C и F

D=-\frac{(-3)^2-3+2}{(-3-1)^3(-3-7)^2}=\frac{8}{-64*100}

C=-\frac{(1)^2+1+2}{(1+3)(1-7)^2}=\frac{4}{4*36}=\frac{1}{36}

F=\frac{7^2+7+2}{(7-1)^3(7+3)}=\frac{58}{216*10}=\frac{29}{1080}

Попробуем узнать коэффициент B

Возьмем первую производную от числителя. Она равна 2x+1.

Подставим туда единицу, разделим на один факториал  1!=1  и и запомним значение = 3

Теперь знаменатель. Узнаем значения производных знаменателя ( при x=1) через онлайн сервис Значение производной многочлена по методу Горнера

Введя коэффициенты  полинома x^6+(-14)*x^5+(43)*x^4+(92)*x^3+(-409)*x^2+(434)*x^1+(-147)

получаем таблицу

Заданная функция
Введенное выражение
Производная Значение производной при X=1
0 0
1 0
2 0
3 864
4 -288
5 -960
6 720

Первая и вторая производная равны нулю, но это и логично, так как корень 1 имеет кратность 3. 

Значение третьей производной равно 864

Составляем уравнение

3(это числитель, который я просил запомнить)=B*864/3!(три факториал)+C*(-288)/4!

Пока для большинства вообще неочевидно, что и откуда но не волнуйтесь - знания придут.

C нам известно и получаем уравнение с одной неизвестной

3=B*864/6-288/36/24

B=\frac{20}{864}=\frac{5}{216}

Давайте узнаем чему же равен кэффициент A.

У нас почти все есть

Берем вторую производную от числителя. Она равна постоянному числу =2

Разделим на два факториал  2!=2  и и запомним значение = 1

Теперь составляем уравнение

1=A*864/3!+B*(-288)/4!+C(-960)/5!

B и C нам известны.

1=144A-12B-8C=144A-12\frac{5}{216}-8\frac{1}{36}

A=\frac{1}{96}

То есть 

\frac{x^2+x+2}{(x-1)^3(x+3)(x-7)^2}==\frac{1}{96(x-1)}+\frac{5}{216(x-1)^2}+\frac{1}{36(x-1)^3}+\frac{-1}{800(x+3)}+\frac{E}{(x-7)}+\frac{29}{1080(x-7)^2}

Значение коэффициента E я Вам оставляю на домашнее задание, если методика заинтересовала. Если же нет то  вот ответ

E=\frac{-11}{1200}

Онлайн калькулятор который будет все это делать за Вас в автоматическом режиме, работает в том числе и в поле комплексных чисел.

Теперь разложить любую правильную дробно-рациональную функцию на простейшие не составит ни малейшего труда.

Рассмотрим несколько примеров:

 

 
 
 
Обращение к пользователям