Заданные вектора и результирующий вектор |
![Уравнение]() |
Умножение двух векторов в пространстве
Достаточно простая задача которая встречается в школьных учебниках: Найти векторное произведение двух векторов
Например:
и ![b(1,-2,1)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?b(1,-2,1))
Одним из способов решения является матричный метод
![\begin{pmatrix}i & j & k \\ 3 & 4 & -4 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix}=( -4 )i + ( 7 )j + ( -10 )k](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\begin{pmatrix}i & j & k \\ 3 & 4 & -4 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix}=( -4 )i - ( 7 )j + ( -10 )k)
Таким образом наш результирующий вектор имеет значения
![?ab=(-4,7,-10)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?ab=(-4,-7,-10))
Все вычисления проивзодятся в правой системе координат. Если же вам надо умнодить вектора в левой системе координат, то каждый результирующее значение надо взять с обратным знаком.
В левой системе координат наш ответ будет ![ab=(4,7,10)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?ab=(4,7,10))
Расширение исходной темы
Рассмотрим более общую задачу как вычислить "результирующий вектор" когда есть матрица без одной верхней строки. Вернее, каждый элемент верхней строки является неизвестной величиной- переменной.
Когда у нас есть вот такая матрица
![gin{pmatrix}i%20&%20j%20&%20k%20&%20l%20&%20m%20&%20n%20\\%205%20&%202%20&%205%20&%205%20&%204%20&%206%20\\%201%20&%204%20&%205%20&%203%20&%205%20&%202%20\\%205%20&%204%20&%202%20&%206%20&%205%20&%201%20\\%204%20&%206%20&%205%20&%202%20&%205%20&%204%20\\%206%20&%206%20&%206%20&%202%20&%206%20&%201%20\\%20\end{pmatrix}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\begin{pmatrix}i & j & k & l & m & n \\ 5 & 2 & 5 & 5 & 4 & 6 \\ 1 & 4 & 5 & 3 & 5 & 2 \\ 5 & 4 & 2 & 6 & 5 & 1 \\ 4 & 6 & 5 & 2 & 5 & 4 \\ 6 & 6 & 6 & 2 & 6 & 1 \\ \end{pmatrix})
И необходимо разложить её в "вектор"
Практического применения я пока еще не нашел, но сама идея интересная и главное, при возникновении такой задачи для вас упрощаются все вычисления.
Update 04.01.2019. Практическое применение найдено, с помощью такого "расширенного вектора" достаточно легко решаются неоднородные линейные системы уравнений. Кому интересно просьба ознакомится: Общее решение неоднородной системы уравнений
Итоговым решением заданной матрицы будет выражение.
![( -76 )i + ( 1127 )j + ( 1108 )k + ( 1046 )l + ( -2426 )m + ( -490 )n](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?( -76 )i + ( 1127 )j + ( 1108 )k +\\\\+ ( 1046 )l + ( -2426 )m + ( -490 )n)
Естественно все это работает и в поле комплексных чисел.
То есть если у нас есть матрица
![\begin{pmatrix}i & j & k \\ 3 & 4 & -4 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\begin{pmatrix}i &j &k& l\\1 &2 &i &5\\ 0 &-i &1 &4 \\-i &3 &1+i &2 \end{pmatrix})
То результирующий вектор имеет вид
![( -16-1i )i + ( -2-1i )j + ( -7-10i )k +\\\\+ ( 2+2i )l](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?( -16-1i )i + ( -2-1i )j + ( -7-10i )k +\\\\+ ( 2+2i )l)
Ограничение опять же одно - матрица не более чем 10 на 10.
Надеюсь это поможет кому то в работе.