С первого раза не очень понятно что же будет делать наш бот. Судя по популярности запроса на материал Непрерывные, цепные дроби онлайн пользователям интересна эта тема и мы её постраемся дополнить.
Задача, которая стоит перед нами - проста. Вычислить результат непрерывной дроби, если задана сама цепочка этой дроби. Еще раз напомним, что же такое непрерывная или по другому цепная дробь.
Любую дробь можно выразить в виде конечной или бесконечной непрервыной дроби имеющий вид
Цепную дробь обычно записывают в виде
Таким образом если нам дана цепочка элементов дроби, мы можем всегда рассчитать чему же будет равна изначальная дробь.
Где же это может пригодится? На мой взгляд, я бы как минимум воспользовался этим ботом для написания математического реферата или курсовой, так как тема комплексных цепных дробей, вообще на просторах интернета не представлена. Хотя наверняка где то в математических институтах подобные задачи решались и решаются.
Синтаксис
Функция, которая рассчитывает результат имеет вид
cd_i периодическая часть;НЕ периодическая часть цепной дроби
Периодическая часть - часть элементов цепной дроби которая имеет цикл повторения
Непериодическая часть - часть элементов цепной дроби которая не имеет цикла повторения
Убедительная просьба: Если уж пишете мнимые единицы то обозначайте их знаком i (ай) а не j(джи). Будьте внимательнее в написании исходных данных!!.
Примеры
Итак у нас есть цепная дробь которая имеет одно значение - единицу(1)
Она повторяется каждый раз? Да.
тогда так и пишем cd_i 1
Результат будет известным - сумма равна 1.6180339887499
Вторая задача попробуем посчитать чему равна вот такая дробь
Мы видим что тут есть две части периодическая (4,8) и непериодическая часть 4 (самый первый элемент)
попробуем написать cd_i 4 8;4
Сумма равна 4.2426406871193. Если мы эту сумму возведем в квадрат получим число 18.
Это и есть наш результат.
Продолжим наши эксперименты теперь в комплексных числах.
Чему же оно равно?
Сумма равна 0+1.6180339887499i. Получили то же "золотое число" только в поле комплексных чисел
Продолжим
Чему равна цепная дробь вида
Бот нам дал ответ ответ
сумма равна 0.6248105338436+1.3002425902199i
или в другом виде ( хотя не уверен что в 15 или 16 разряде есть 100% совпадание)
Интересное свойство проявляют цепные дроби если элементом становится иррациональное число например
Результирующая дробь имеет вид
Если же элементом непрерывной дроби становится то результирующая дробь равна
Чему равна результирующая дробь если каждый элемент дроби равен ?
Чему равна дробь если в виде цепной дроби она имеет мнимую единицу ?
Бот дает значение 0, на самом деле это не очень корректно, там получается на второй операции, деление на ноль и неопределенность, но если мы будем приближаться к мнимой единице, справа или слева, все равно, то увидим что результат стремится к нулю.
Очень интересна периодическая дробь с комплексно сопряжеными элементами (1+i, 1-i)
Пишем cd_i 1+i 1-i
и получаем сумма равна 1.3660254037845+1.3660254037844i
Интересность в том, что если мы построим дробь поменяв элементы местами (1-i, 1+i) результат получим комплесно сопряженный, то есть 1.3660254037845-1.3660254037844i
Вторая особенность в том, что если два элемента дроби комплексно-сопряжены и между действительной и мнимой частью есть отношение то такое же отношение будет и в отношении действительной и мнимой частью результирующей дроби.
Ну и само число 1.3660254037845 равно вот такому выражению
Вообщем очень много можно подчерпнуть из непрерывной дробей в комплексной плоскости. Было бы время и желание.
Ну и на затравку. Я утверждаю что каждое вещественное число возможно представить в виде таких двух комплексно сопряженных чисел, что каждое из них возможно представить в виде цепной дроби, где каждый элемент будет комплесно-сопряжен с другим элементов второй цепной дроби.
Доказательство истинности или ошибочности моего утверждения, оставляю на Ваше усмотрение.