Рассмотрим, один из способов вывода формулы по которой определяется сумма геометрической прогрессии. Есть несколько способов доказательств, в том числе и через пределы. Но мы пойдем простым и логичным путем, не плодя новых сущностей, и не забивая голову, в данном случае тем, что для решения этой задачи нам не пригодится.
Напомним, что бесконечная сумма геометрической прогресии существет и ограничена в том случае, если каждый из последующих элементов стремится к нулю. Или как написано в разных учебниках абсолютное значение знаменателя прогрессии меньше единицы.
Напомним, что же считается геометрической прогрессией?
Последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (q - знаменатель прогрессии) и называется геометрической прогрессией.
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:
![b_n=b_1q^{n-1}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?b_n=b_1q^{n-1})
а сумма прогрессии( считаем что она бесконечна, т.е. знаменатель не меньше нуля и не больше единицы) равна
![S=\frac{1}{1-q}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?S=\frac{b_1}{1-q})
Попробуем решить следующую задачу найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, заданную рядом
![\frac{1}{5)+frac{1}{25)+frac{1}{125)+frac{1}{625)+....](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}+....)
Смотрим на неё и размышляем. Что же мы можем с ней сделать, не зная ни одной формулы? Ну как минимум можем вынести
за скобки.
Попробуем ![](/\frac{1}{5)+frac{1}{25)+frac{1}{125)+frac{1}{625)+....)
![\frac{1}{5)+frac{1}{25)+frac{1}{125)+frac{1}{625)+....](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\frac{1}{5}(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}+....))
Аха! В скобках получился такой же ряд что и в начале только с единицей в начале.
Обозначим сумму ряда как S
и тогда можем записать что
![\frac{1}{5}(1+S)=S](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\frac{1}{5}(1+S)=S)
Это уравнение с одной переменной и легко решается
Ответ
. Это и есть наш ответ.
Заметили? Мы не пользовались ни пределами, не запоминали ни одну формулу. Мы просто здраво рассуждали и пришли к правильному решению.
Давайте обобщим и выведем общую формулу геометрической прогрессии вышеуказанным способом.
У нас есть ряд ![\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^4}+....](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^4}+....)
Обозначим эту сумму как S и вынесем
за скобки
получим ![\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^4}+....)](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\frac{1}{a}(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^4}+....))
или ![\frac{1}{a}(1+S)=S](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?\frac{1}{a}(1+S)=S)
Отсюда ![S=\frac{1}{a-1}](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?S=\frac{1}{a-1})
Возросла самооценка от того, что сами можете доказывать и выводить формулы?
То то же :)