Наименьший периметр многоугольника через площадь

Наверное часть из вас, знает легенду о возникновении города Карфаген.

"У Мапона, царя Тира, было двое детей - Пигмалион и Элисса (таким было тирское имя царицы Дидоны). После смерти Мапона трон занял его сын Пигмалион, еще ребенок. Элисса, подстрекаемая Пигмалионом, вышла замуж за его дядю Сикарба. жреца храма Геракла и второго человека в государстве после самого царя, так как Пигмалион хотел заполучить сокровища, спрятанные Сикарбом. Спустя некоторое время Пигмалион попросил Элиссу разузнать, где муж прячет сокровища. Она подчинилась, но не сказала брату, где находится тайник. Пигмалион повелел убить Сикарба, чтобы завладеть его богатством, а Элисса успела скрыться на корабле вместе со знатными тирийцами. захватив сокровища с собой. Беглецы высадились на севере Африки, где их тепло приняли местные жители, заключившие с прибывшими договор: тирийцам разрешалось занять столько земли, сколько можно было покрыть бычьей шкурой. Те разрезали шкуру на очень тонкие ремни, связали их вместе и опоясали ими достаточно большой участок. Местные жители в соответствии с договором передали им землю, где был основан город. Новый город получил название Бирса, что по-финикийски означает «бычьи шкуры-. Спустя некоторое время царь соседнего племени Иарбант захотел жениться на Дидоне и угрожал объявить войну в случае отказа. Дидона отказалась и покончила с собой. На основе этой легенды Вергилий создал «Энеиду- - поэму о похождениях троянского героя Энея. Корабль Энея прибивает бурей к побережью Африки, и его подбирают жители Карфагена - города, основанного Дидоной. Дидона влюбляется в Энея и умоляет его остаться. Тот отказывается, и Дидона кончает жизнь самоубийством."

В этой красивой легенде, есть математическая часть, которую не все замечают.

Каким образом царица должна разместить разрезанные полосы, что бы получить максимальную площадь?

Прямоугольник? Квадрат? Многоугольник?

В общем случае, задача совсем нетривиальная и ей посвящены работы серъезных ученых..

Но если говорить о геометрических фигурах, не "прижатых" к побережью, то здесь проще.

Итак задача формулируется так: Какая из геометрических фигур при одинаковой площади S имеет наименьший периметр P?

Рассматриваем только правильные геометрические фигуры, которые имеют одинаковые стороны.

Общая формула связывающая количество сторон (n) многоугольника, длину стороны (a) с площадью (S) выглядит вот так

$S = \frac{n}{4}\ a^2 \mathop{\mathrm{}}\, \operatorname{ctg} \frac{\pi}{n}$

тогда периметр (P) будет находится как

$P =an= n\sqrt{\frac{4S}{n}tan{\frac{\pi}{n}}$

Для треугольника

$P=\frac{6}{\sqrt[4]{3}}\sqrt{S}$

Для четырехугольника (квадрата)

$P=4\sqrt{S}$

Для шестиугольника

$P=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3\sqrt{3}}}\sqrt{S}$

Как видно при постоянной площади, минимальный периметр будет у шестиугольника. Конечно, если будем сравнивать 6-ти угольник с 12-ти угольников то 12 угольник выиграет по минимальному преиметру.

И естественно что лидером будет простая окружность которая является такой геометрической фигурой у которой при той же самой площади, периметр будет минимальным.

В природе однако встречаются чаще всего шестиугольники. Это строение глаз (фасетки) насекомых, это и строительство сот у пчёл, и еще много чего имеет шестиугольную форму.

Почему так? Просто шестиугольник обладает еще одним преимуществом, с помощью которого можно закрыть любую площадь с минимальными "потерями" - пустым местом между ячейками.

Посмотрите на игру "Мозаика". Какую форму имеют детали игры?

Поэтому шестиугольник так распространен в природе.

- закрывает всю площадь

- для строительтсва такой "соты" необходимо потратить минимальное количество материала, по сравнению например с треугольной или квадратной формой.