Параметры цилиндрической фигуры |
|
Поставим себе следующую задачу. Необходимо построить на даче бак в виде цилиндра, который бы вмещал 3 кубометра воды и условием что бы затраты на металл для бака были минимальны.
Кто считает, что какая разница каких размеров (высота и радиус) строить бак, то тот глубоко заблуждается и как следствие платит за материал для бака бОльшую сумму.
Есть оптимальные размеры бака для любого заданного объема.
Эта же задача формулируется в математике так - найти параметры цилиндра заданного объема, при минимальной площади поверхности.
Давайте определим их.
Итак у цилиндра есть два базовых параметра это радиус
основания(или диаметр
) и высота ![высота](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?H)
![Бак с жидкостью](/images/111/a.png)
Объем
такой ёмкости определяется как
![объем цилиндра](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?V={\pi}R^2H)
![](/images/111/a.PNG)
Общая площадь
поверхности цилиндра, то есть сумма площадей торцевых частей и площади боковой части равна
![площадь целозамкнутого цилиндра](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?S=2{\pi}RH+2{\pi}R^2)
Если бак или цилиндр не имеет одной торцевой крышки, например открытая ёмкость для воды то
![площадь открытого цилиндрического бака](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?S=2{\pi}RH+{\pi}R^2)
Нам надо определить параметры при которых пплощадь поверхности будет минимальна.
Используем свойство производной функции, которая говорит о том что взяв производную от какой либо функции и приравняв её к нулю, мы сможем найти все максимумы и минимумы этой функции на указанном отрезке.
Только прежде выразим высоту цилиндра через объем и радиус
![высота цилиндра через объем](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?H=\frac{V}{{\pi}R^2})
И тогда
![площадь целозамкнутого цилиндра](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?S=2{\pi}(RH+R^2)=2{\pi}(\frac{V}{R\pi}+R^2))
![производная цилиндра](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?S^\prime=2{\pi}(2R-\frac{V}{R^2\pi}))
Приравняв производную к нулю получим
![минимальная поверхность](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?2R=\frac{V}{R^2\pi})
откуда
![минимальная поверхность](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})
В результате вычислений мы получим, что для замкнутого с двух торцевых сторон бака ёмкостью 3 кубометра нам необходимо его строить с такими параметрами
Радиус основания =0.782 метра
Высота цилиндра = 1.563 метра
А что если у нас одного торца не будет. то есть мы проектируем открытый бак?
Тогда площадь поверхности
![площадь открытого бака](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?S=2\frac{V}{R}+{\pi}R^2)
![производная цилиндра](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?S^\prime=2R\pi-2\frac{V}{R^2})
И тогда
![минимальная поверхность открытого бака](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?R=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}})
При открытом баке оптимальные размеры можно не рассчитывать. Просто считать по формуле
и принимая что высота и радиус должны быть одинаковы.
Удачный расчетов !